Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее^[1]:

Если $\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над $\mathbb{Q}$, то $e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}$ являются алгебраически независимыми над $\mathbb{Q}$, то есть, степень трансцендентности расширения $\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n})$ равна $n$

Часто используется другая эквивалентная формулировка^[2]:

Для любых различных алгебраических чисел $\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n$ числа $e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел $\overline{\mathbb{Q}}$.

История

В 1882 Линдеман доказал, что $e^\alpha$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического $\alpha$^[3], а в 1885 Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Ссылки

1. ↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. ↑ Alan Baker Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975.. Chapter 1, Theorem 1.4.
3. ↑ F. Lindemann Über die Zahl π // Mathematische Annalen. — Т. 20 (1882). — С. 213-225.

Литература

• Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4