Хеммингова сфера

Сферы Хемминга для двоичного двумерного векторного пространства с центрами в различных точках (отмечены чёрным). Сферам принадлежат точки, отмеченные чёрным и зелёным. Точки, отмеченные белым не принадлежат сферам. В каждом из примеров сферам принадлежит ровно три точки (вектора).

Хеммингова сфера $S_t \left( \vec v \right)$ радиуса $t$ c центром в точке $\vec v$ — множество всех векторов (точек) в двоичном векторном пространстве $V_2$ на расстоянии не более $t$ от заданного вектора $\vec v$:

$S_t \left( \vec v \right) = \left\{ \vec x \in C | d_H\left( \vec x, \vec v \right) \leq t \right \}$

Если размерность двоичного векторного пространства $V_2$ равна $n$, то количество точек (векторов), принадлежащих сфере $S_t \left( \vec v \right)$ равно:

$\left| {S_t \left( {\vec v} \right)} \right| = \sum\limits_{i = 0}^t { \binom{n}{i} }$

Литература

• Морелос-Сарагоса Р. 1.1.2. Хеммингово расстояние, Хемминговы сферы и корректирующая способность // Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — С. 20—23. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0