Теорема о 9 точках на кубике

Иллюстрация к теореме о 9 точках

Теорема о 9 точках на куби́ке — теорема аналитической геометрии, которая гласит, что^[1]

Если 8 из 9 точек пересечения двух троек прямых (на рисунке справа — синих и красных) лежат на куби́ке (кривой третьего порядка, чёрной), то девятая тоже лежит на ней.

Доказательство

Ниже приведено простое доказательство, использующее исключительно факты из школьной программы. Оно состоит из трёх частей: двух лемм и собственно теоремы^[1].

Лемма 1

Если многочлен от двух переменных $P\,(x,\,y)$ в бесконечном числе точек на прямой $l:\,ax+by+c=0$ принимает нулевое значение, то он делится на уравнение этой прямой, то есть $P\,(x,\,y)\,\vdots\,ax+by+c$.

Обозначим $z\,:=\,ax+by+c$. В условии задана прямая, поэтому либо $a$, либо $b$ не равно 0. Будем считать, что это $b$, тогда $y=\frac{z-ax-c}{b}=S\,(x,z)$, а $P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x,\,z)+R\,(x)$. На прямой $l:\,z=0$ многочлен $F\,(x,\,z)=R\,(x)=0$, но при этом $x$ может принимать бесконечное число различных значений, поэтому $R\,(x)\equiv0$, а значит $P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots\,z=ax+by+c$. ■

Лемма 2

Если кубики $P\,(x,\,y)$ и $Q\,(x,\,y)$ пересекаются в трёх точках на прямой $l:\,ax+by+c=0$, то существует такое число $t$, что $P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots\,ax+by+c$.

Аналогично лемме 1 будем считать, что $b \ne 0$, тогда для точек прямой $l$ выполняется равенство $P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-\frac{ax+c}{b}\right)=P_1\,(x)$, аналогично $Q\,(x,\,y)=Q_1\,(x)$. Многочлены $P_1\,(x)$ и $Q_1\,(x)$ равны 0 в трёх общих точках, их степень не выше 3, поэтому существует такое число $t$, что $P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)$ для всех точек на этой прямой. Применив лемму 1, получаем доказываемое утверждение. ■

Доказательство теоремы

В дальнейшем для краткости параметры многочленов $(x,\,y)$ будут опущены. Обозначим уравнение чёрной кубики за $H$, красный прямых за $K_1, K_2$ и $K_3$, а красной кубики за $K=K_1 \cdot K_2 \cdot K_3$. Аналогично для синих прямых и кубики $S=S_1 \cdot S_2 \cdot S_3$. При этом будем считать нумерацию такой, что необходимо доказать принадлежность точки пересечения $K_2 \cap S_2$ кубике $H$.

Применив для прямой $K_1$ и кубик $S$ и $H$ лемму 2, получаем, что существует число $a$, для которого $H-a \cdot S \,\vdots\, K_1$. Аналогично существует такое $b$, что $H-b \cdot K \,\vdots\, S_1$. Тогда многочлен третьей степени $A=H-a \cdot S-b \cdot K$ делится на $K_1$ и $S_1$, то есть $A=A_1 \cdot K_1$. Многочлен $A$ равен нулю для всех точек прямой $S_1$, прямые $K_1$ и $S_1$ общего положения, а значит $K_1$ принимает значение 0 ровно в одной точек прямой $S_1$. Поэтому $A_1$ равно нулю в бесконечном числе точек прямой $S_1$ и по лемме 1 делится на её уравнение. Таким образом $A \,\vdots\, K_1 \cdot S_1$, а значит $A = K_1 \cdot S_1 \cdot Q$, где $Q$ — многочлен степени не выше первой, то есть прямая или нуль.

Предположим, что $Q$ — прямая. Левая часть равенства $H-a \cdot S-b \cdot K = K_1 \cdot S_1 \cdot Q$ равна нулю в точках $K_2 \cap S_3, K_3 \cap S_3$ и $K_3 \cap S_2$, а значит один из трёх множителей в правой части также равен нулю. Но прямые $K_1$ и $S_1$ не проходят через эти точки, поэтому все они лежат на одной прямой — $Q$. Но это невозможно.

Таким образом $Q\equiv0$, а значит $H=a \cdot S+b \cdot K$. Но кубики $K$ и $S$ проходят через точку $K_2 \cap S_2$, а значит и кубика $H$ проходит через эту точку. ■

Применение

Иллюстрация к доказательству теоремы Паскаля через теорему о 9 точках

С помощью теоремы о 9 точках просто доказываются некоторые факты из проективной геометрии, например теорема Паскаля:

Если шестиугольник вписан в коническое сечение, то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

На рисунке справа шестиугольник с 3 красными и 3 синими сторонами вписан в чёрную параболу. Красные и синие прямые пересекаются в 9 зелёных точках, 6 из которых лежат на параболе, а через 2 другие проведена чёрная прямая. Поскольку чёрная кубика, содержит 8 зелёных точек, образованных пересечением красной и синей кубик, она содержит и девятую точку. Но эта точка не лежит на параболе, а значит она принадлежит прямой. ■

Также она может использоваться для доказательства ассоциативности операции сложения точек на эллиптической кривой^[2].

Теорема Шаля

Теорема Шаля — обобщение для случая, когда взяты не тройки прямых, а произвольные кубики^[3]:

Если в проективной плоскости две кубики имеют 9 общих точек, то любая другая кубика, проходящая через 8 из них, проходит и через девятую.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} А. С. Штерн Лекция «Теорема о 9 точках на кубической кривой». — кафедра алгебры ОмГУ, 27 ноября 2010 года.
2. ↑ В. В. Острик, М. А. Цфасман Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 20-24. — 48 с. — (Математическое просвещение). — ISBN 5-900916-71-5
3. ↑ Д. Айзенбёд, М. Грин, Дж. Наррис Теорема Кэли — Бахараха и гипотезы. — 1996.  (англ.)

См. также

• Теорема Кэли-Бахараха  (англ.)