- Теорема Лёвенгейма
-
Теорема Лёвенгейма — Скулема — утверждение из теории моделей о том, что если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель. Эквивалентная формулировка: каждая модель счётной сигнатуры имеет счётную элементарную подмодель.
Эта теорема появилась в работе Лёвенгейма 1915 года; она также часто называется теоремой Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности (downward Löwenheim — Skolem theorem в англоязычной литературе), чтобы отличать её от похожего утверждения, называемого теоремой Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности: если множество предложений счётного языка первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет модель произвольной бесконечной мощности (upward Löwenheim — Skolem theorem).
Содержание
Набросок доказательства
Пусть структура является моделью множества формул счётного языка . Построим цепочку подструктур , . Для каждой формулы такой, что , обозначим через произвольный элемент модели, для которого . Пусть подструктура , сгенерированная множеством
Индуктивно определим как подструктуру, сгенерированную множеством
Так как количество формул счётно, каждая из подструктур счётна. Заметим также, что их объединение удовлетворяет критерию Тарского — Вота, и следовательно является элементарной подструктурой , что и завершает доказательство.
Языки произвольной мощности
Теоремы Лёвенгейма — Скулема для языков произвольной мощности формулируются следующим образом:
Понижение мощности. Каждая структура сигнатуры мощности имеет элементарную подструктуру мощности .
Повышение мощности. Если множество предложений языка имеет бесконечную модель, то оно имеет модель любой мощности .
Примеры
Связанные темы
- Теорема о компактности
- Критерий Тарского — Вота
- Элементарная эквивалентность
- Парадокс Скулема
Категории:- Математическая логика
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.