Схема Бернулли

Проводятся $n$ опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью $p$ (или не произойти — «неудача» — $q=1-p$). Задача — найти вероятность получить $m$ успехов в опыте.

Решение:

$P_n(m)=C_n^mp^m(1-p)^{n-m}$

Количество успехов — величина случайная, которая имеет распределение Бернулли.

Определение

Теперь рассмотрим эту задачу подробнее. Возьмём самый простой стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0».

Пусть вероятность успеха $0<p<1$, тогда вероятность неудачи $1-p=q$.

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в $n$-кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий $\Omega$, которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет $\left \{ \Omega=(a_1,...,a_n)|a_i=\overline{0,1}, i=\overline{1,n}\right\rbrace$ (1), $N(\Omega)=2^n$. За $\sigma$-алгебру событий $\mathcal{A}$ возьмём булеан пространства элементарных событий $P(\Omega)$ (2). Каждому элементарному событию $\omega\in\Omega$ поставим в соответствие число $p(\omega)=p^{\sum_{i=1}^n a_i} q^{n-\sum_{i=1}^n a_i}$. Если в элементарном событии $\omega$ успех наблюдается $k$ раз, а неудача — $(n-k)$ раз, то $p(\omega)=p^k q^{n-k}$. Пусть $A_k=\{\omega\in\Omega|\sum_{i=1}^n a_i=k\}, k=\overline{0,n}$, тогда $P(A_k)=\sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=C_n^k p^k q^{n-k}$. Также является очевидной нормированность вероятности: $\sum_{\omega\in\Omega} P(\omega)=\sum_{k=0}^n \sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=\sum_{k=0}^n C_n^k p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1^n=1$.

Поставив в соответствие каждому событию $A\in\mathcal{A}$ числовое значение $P(A)=\sum_{\omega\in A} P(\omega)$ (3), мы найдём вероятность $P:\mathcal{A}\to\mathbb{R}$. Построенное пространство $(\Omega,\mathcal{A},P)$, где Ω — пространство элементарных событий, определено равенством (1),$\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, определена равенством (2), P — вероятность, определена равенством (3), называется схемой Бернулли для $n$ испытаний.

Набор чисел $P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N}$ называется биномиальным распределением.

Расширенное определение

Обычная формула Бернули применима на случай когда при каждом испытании возможно одно из двух cобытий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из $k>2$ событий с вероятностью $p_i (i=1,2,...,k)$, где $p_i+...+p_k=1$. Вероятность появления $m_1$ раз первого события и $m_2$ - второго и $m_k$ раз k-го находится по формуле

$P_n(m_1,m_2,...,m_k)= \frac{n!}{m_1! m_2! ... m_k!} {p_1}^{m_1} {p_2}^{m_2}...{p_k}^{m_k}$,

где $n=m_1+m_2+...+m_k.$

Свойства

Пусть p - вероятность успеха в схеме Бернулли, q=1-p. Тогда самым вероятным среди событий $A_k, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N}$ является событие $A_{k_0}$, где $k_0$ можно найти с неравенства $np-q\le k_0\le np+p$.

Теоремы

В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Cсылки

• http://www.mathelp.spb.ru/book2/tv8.htm