Схема (математика)

В алгебраической геометрии схе́ма — это абстракция, позволяющая связать единым образом коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференцирования, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

Основным аппаратом теории схем являются теория категорий, теория пучков, коммутативная и гомологическая алгебра.

В дальнейшем изложении слово «кольцо» всегда означает «коммутативное ассоциативное кольцо с единицей».

Мотивация

Базовым понятием теории схем является локально окольцованное пространство. Окольцованное пространство — это топологическое пространство, на котором задан пучок колец, называемый структурным пучком. Пространство называется локально окольцованным, если слой пучка в каждой точке является локальным кольцом. Локально окольцованные пространства являются основным объектом изучения в дифференциальной геометрии и топологии. В качестве структурного пучка при этом выступает соответствующий пучок функций. Например, топологическим пространствам соответствует пучок непрерывных функций, гладким многообразиям — пучок гладких функций, комплексно аналитическим многообразиям — пучок голоморфных функций, суперпространствам — пучок функций со значениями в супералгебре (в последнем примере кольцо функций не является коммутативным, однако оказывается, что свойство суперкоммутативности не требует изменения формальных построений). Утверждение о том, что слой пучка является локальным кольцом, означает, что для кольца структурного пучка можно определить поточечные значения, принадлежащие некоторому полю, так что элементы структурного пучка действительно можно рассматривать как функции. Отметим, что в общем случае такая «функция» не определяется своими поточечными значениями, хотя в классической геометрии аналога этому явлению нет.

Пожалуй, первым примером^{[источник не указан 436 дней]}, подводящим к понятию схемы, является пространство Стоуна, сопоставляющее каждой булевой алгебре $B$ её множество ультрафильтров $S(B)$. Базу топологии на пространстве Стоуна образуют множества вида $\{x\in S(B) \vert b \in x \}$ для всех элементов $b\in B$. По сути, конструкция Стоуна показывает, что любая булева алгебра есть алгебра подмножеств некоторого множества. Соответствие между булевыми алгебрами и булевыми кольцами превращает пространство Стоуна в спектр соответствующего булева кольца. Общую конструкцию спектра мы опишем далее.

Важным примером является топология Зарисского, введённая О. Зарисским в 1940х^{[источник не указан 436 дней]} годах с целью изучения геометрии множества решений полиномиальных уравнений. Классическая топология Зарисского вводится на подмножествах в $\Bbb{A}^n$, где $\Bbb{A}^1=\Bbb{K}$ — аффинная прямая над полем $\Bbb{K}$. Базу замкнутых подмножеств в топологии Зарисского образуют множества решений всевозможных систем полиномиальных уравнений. Топология на аффинных подмножествах в $\Bbb{A}^n$ вводится как топология подпространства. Аналогичная конструкция существует для проективных многообразий. Заметим, что топология Зарисского на $\C^n$ значительно слабее, чем классическая. В частности, она не является хаусдорфовой. Оказывается, однако, что соответствующие геометрии в некотором смысле эквивалентны^[1]. Топология Зарисского была основным примером, мотивировавшим введение А. Гротендиком понятия схемы.

Одним из примеров, мотивировавших введение понятие схемы, была открытая в 1943^{[источник не указан 436 дней]} году двойственность Гельфанда-Наймарка, связывающая коммутативные С*-алгебры с алгебрами непрерывных функций на топологических пространствах. А именно, оказывается, что каждой коммутативной банаховой алгебре с единицей $A$ можно сопоставить некоторое компактное топологическое пространство $\Omega(A)$ (максимальный спектр алгебры, не путать со спектром оператора), такое что коммутативная банахова алгебра $C(\Omega(A))$ непрерывных функций на нём будет в точности $A$. Кроме того, $\Omega(C(X))=X$ для компактного пространства $X$.^[2] Возникающее при этом пространство является несколько упрощённой версией спектра кольца, который мы построим далее.

Аффинные схемы

Базовым понятием теории схем являются аффинные схемы. Произвольные схемы склеиваются из аффинных, подобно тому, как многообразие склеивается из локальных карт.

Спектр кольца

Пусть $A$ — кольцо. Спектр $\mathrm{Spec}A$ кольца $A$ — это топологическое пространство, точками которого являются все простые идеалы кольца $A$, снабжённое топологией Зарисского. А именно, замкнутыми подмножествами являются множества вида

$V(I) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}A \vert I \subset \mathfrak{p} \}$

Здесь $I$ — всевозможные идеалы кольца $A$. Открытыми множествами являются, соответственно, дополнения замкнутых, то есть множества вида

$D(I) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}A \vert I \not\subset \mathfrak{p} \}$

Некоторые элементарные свойства топологии Зарисского таковы:

$V(I)\cup V(J) = V(I\cap J) \subset V(IJ)$

$V(I) \cap V(J) = V(I+J)$

$I(V(J)) = \mathrm{rad}J$

Здесь $I(S)$ — множество всех элементов кольца, зануляющихся на множестве $S\subset \mathrm{Spec}A$, то есть

$I(S) = \{ f\in A \vert \forall \mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A.\ f = 0 \mod \mathfrak{p} \}$

Структурный пучок

Аффи́нная схема — это локально окольцованное пространство $(\mathrm{Spec}A; \mathcal{O}_A)$, где $\mathcal{O}_A$ — структурный пучок. Он вводится таким образом, чтобы любое открытое подмножество в $\mathrm{Spec}A$ можно было рассматривать как подсхему, при этом для аффинных схем требуется $\mathcal{O}_A(\mathrm{Spec}\;A) = A$, что означает эквивалентность геометрического и алгебраического взгляда на кольцо.

Базу топологии на спектре образуют множества $D_f = D((f))$, $f\in A$ (соответствующие главному идеалу $(f)$). По определению, структурный пучок на них имеет вид

$\mathcal{O}_A(D_f) = A_f$

Здесь $A_f$ — локализация кольца $A$ по элементу $f$. Эта конструкция продолжается единственным образом до пучка на $\mathrm{Spec}A$. В явном виде

$\mathcal{O}_A(D_{f_1,\dots,f_k}) = A_{f_1,\dots,f_k}$

$D_{f_1,\dots,f_k} = \cup_{i=1}^{k} D_{f_i}$

$D_{f_1\dots f_k} = \cap_{i=1}^{k} D_{f_i}$

Указанная конструкция определяет контравариантный функтор $\mathrm{Spec}\colon \mathcal{R}ing^{op} \to \mathcal{A}ff$ из категории колец в категорию аффинных схем. Имеется также обратный функтор $\mathcal{O}\colon \mathcal{A}ff \to \mathcal{R}ing^{op}$, сопоставляющий локально окольцованному пространству $(X,\mathcal{O}_X)$ кольцо глобальных сечений $\mathcal{O}_X(X)$ его структурного пучка. Эта пара функторов определяет эквивалентность категорий $\mathcal{R}ing^{op} \simeq \mathcal{A}ff$. Общее понятие схемы вводится так, чтобы функтор спектра был сопряжён справа функтору глобальных сечений:

$\mathrm{Hom}_{\mathcal{S}chm} (X ;\; \mathrm{Spec}(A)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{R}ing^{op}}(\mathcal{O}(X) ;\; A)$

Спектр полагается правым сопряжённым, так как склейки аффинных схем должны порождать схемы, не являющиеся аффинными. Склейка схем по подсхеме является копределом в категории схем. Так как $\mathcal{R}ing^{op}$ кополна, то при условии левой сопряжённости спектра любая склейка аффинных схем была бы аффинной, и нетривиальная (не сводящаяся к теории колец) теория схем просто не могла бы существовать. В свете сказанного отметим также, что, хотя диаграмма склейки аффинных схем по подсхеме лежит в кополной категории аффинных схем, её предел требуется вычислять в большей категории — категории всех схем. Это поучительный пример того, что функтор вложения категорий не обязан сохранять пределы.

Схемы

Как локально окольцованное пространство

Схема — это локально окольцованное пространство $(X,\mathcal{O}_X)$ ($X$ — топологическое пространство, $\mathcal{O}_X$ — пучок колец на нём), локально изоморфное аффинной схеме. Более подробно, требуется, чтобы существовало такое покрытие $\{U_i\}_{i\in I}$ топологического пространства $X$ аффинными схемами $U_i = \mathrm{Spec}{A_i}$, так что ограничение структурного пучка на элементы покрытия даёт структурные пучки соответствующих аффинных схем:

$X = \bigcup_{i\in I} U_i$

$\forall i \in I \colon \mathcal{O}_X\vert_{U_i} = \mathcal{O}_{A_i}$

Топологическое пространство $X$ называется базисным топологическим пространством схемы $(X, \mathcal{O}_X)$, а $\mathcal{O}_X$ называется структурным пучком. Морфизм схем — это морфизм соответствующих локально окольцованных пространств. Изоморфизм — морфизм, имеющий двусторонне обратный.

Как непредставимые пучки

Этот подход к теории схем является значительно более абстрактным и требует хорошего знания теории категорий. В основе построений лежат топология Гротендика и пучки множеств. Мы не будем его здесь рассматривать подробно, за деталями обращайтесь к книге^[3].

Аффинная схема $\mathrm{Spec}A$ — это представимый функтор $\mathrm{Spec}A\colon \mathcal{R}ing \to \mathrm{S}et$:

$\mathrm{Spec}A(R) = (A;R)$

Среди всех функторов выделяется особенно важный и удобный для изучения класс, называемый схемами. А именно, схема $X$ — это функтор $X\colon \mathcal{R}ing \to \mathrm{S}et$, являющийся пучком множеств относительно топологии Гротендика, порождённой открытыми по Зарисскому эпиморфизмами колец, и покрывающийся открытыми по Зарисскому отображениями аффинных схем в категории функторов $\left[ \mathcal{R}ing; \mathcal{S}et \right]$. Схемы, не являющиеся аффинными, являются непредставимыми функторами на категории колец. Морфизм схем — это естественное преобразование соответствующих функторов. Согласно лемме Йонеды,

$X(A) = \left[ (A;\cdot) ; X\right] = \left[ \mathrm{Spec}A ; X\right]$

Это утверждение устанавливает связь с приведённой выше геометрической теорией схем, так как основная теорема о морфизмах схем утверждает, что функтор

$Y\colon \mathcal{S}chm \to \left[ \mathcal{A}ff^{op} ; \mathcal{S}et \right]$

$Y(X) = \left( \cdot ; X \right)$

является строго полным. При этом образ вложения — в точности те функторы на аффинных схемах, которые удовлетворяют указанным выше условиям.

Примеры

1. Аффинная прямая $O$ — забывающий функтор $O\colon \mathcal{R}ing \to \mathcal{S}et$, сопоставляющий каждому кольцу его подлежащее множество. Кольцевая структура на нём задаёт кольцевую структуру на множестве $[X;O]$ для любой схемы $X$, поэтому $[X; O]$ называется кольцом функций на $X$. Аффинная прямая — это аффинная схема, она представляется кольцом многочленов $\Z[T]$.
2. Грассманиан $G_{r,n}$ ($n$ — размерность грассманиана) — это функтор, сопоставляющий кольцу $R$ множество прямых слагаемых $P$ ранга $r$ в модуле $R^{r+n}$. Стрелке $\phi: R\to S$ сопоставляется отображение $P \mapsto P\otimes_R S$. В частности, $\Bbb{P}_n = G_{1,n}$ — n-мерное проективное пространство, $\Bbb{P}_1$ — проективная прямая.

Операции над схемами

Примечания

1. ↑ Serre, Jean-Pierre (1956), "«Géométrie algébrique et géométrie analytique»", Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier Т. 6: 1–42, ISSN 0373-0956, doi:10.5802/aif.59, <http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0> 
2. ↑ Пирковский А. Ю. Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов. — М.: МЦНМО, 2010. — 176 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-573-3
3. ↑ M. Demazure, P. Gabriel. Introduction to algebraic geometry and algebraic groups. — North-Holland Publishing Company, 1980. — 357 p. — ISBN 0-444-85443-6

Литература

• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах = The Red Book of Varieties and Schemes. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. — ISBN 978-5-94057-195-7
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия = Algebraic Geometry. — М.: Мир, 1981. — 597 с.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — 2е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 2. Схемы. Комплексные многообразия. — 304 с. — 5900 экз. — ISBN 5-02-014412-4