Последовательность Рудина

Последовательность Рудина — Шапиро, также известная как последовательность Голея — Рудина — Шапиро — это бесконечная последовательность, названная в честь Марсела Голея, Уолта Рудина и Гарольда Шапиро, которые независимо исследовали её свойства.^[1]

Определение

Каждый член последовательности Рудина-Шапиро — либо +1, либо −1. Член последовательности с номером n, $b_n$, определяется по следующим правилам:

$a_n=\sum_i \varepsilon_i \varepsilon_{i+1}$

$b_n=(-1)^{a_n}$,

где $\varepsilon_i$ — цифры двоичной записи n. Иначе говоря, $a_n$ — число (возможно, пересекающихся) подстрок 11 в двоичном представлении n, а $b_n$ есть +1, если $a_n$ четно, и −1 иначе.^[2]

Например, $a_6 = 1, b_6 = -1$, поскольку в двоичной записи числа 6 (110) 11 встречается один раз; $a_7 = 2, b_7 = +1$, так как в двоичной записи числа 7 (111) 11 встречается два раза (с пересечениями): 111 и 111.

Начиная с $n = 0$, числа $a_n$ образуют последовательность:

0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, … (последовательность A014081 в OEIS)

Соответствующие члены $b_n$ последовательности Рудина — Шапиро:

+1, +1, +1, −1, +1, +1, −1, +1, +1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, … (последовательность A020985 в OEIS)

Свойства

Последовательность Рудина — Шапиро может быть сгенерирована конечным автоматом с четырьмя состояниями.^[3]

Значения $a_n$ и $b_n$ в последовательности Рудина — Шапиро могут быть найдены рекурсивно следующим образом:

Если $n = m\cdot 2^k$, где m — нечётное, то

$a_n = \begin{cases} a_{(m-1)/4} & \text{if } m \equiv 1 \pmod{4} \\ a_{(m-1)/2} + 1 & \text{if } m \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}$

$b_n = \begin{cases} b_{(m-1)/4} & \text{if } m \equiv 1 \pmod{4} \\ -b_{(m-1)/2} & \text{if } m \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}$

Таким образом, $a_{108} = a_{13} + 1 = a_3 + 1 = a_1 + 2 = a_0 + 2 = 2$, что может быть проверено непосредственно (двоичное представление числа 108, 1101100, содержит 11 в качестве подстроки дважды). Следовательно, $b_{108} = (-1)^2 = +1$.

Слово Рудина-Шапиро $+1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 \ldots$, получающееся конкатенацией членов последовательности Рудина — Шапиро — неподвижная точка для замены подстрок по следующим правилам:

$+1 +1 \to +1 +1 +1 -1$

$+1 -1 \to +1 +1 -1 +1$

$-1 +1 \to -1 -1 +1 -1$

$-1 -1 \to -1 -1 -1 +1$

Действуя по этим правилам, получаем:

$+1 +1 \to +1 +1 +1 -1 \to +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 \to +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1\ldots$

Из правил замены очевидно, что в последовательности Рудина — Шапиро $+1$ может встречаться не более четырех, а $-1$ — не более пяти раз подряд.

Можно показать,^[1] что значения последовательности частичных сумм последовательности Рудина — Шапиро,

$s_n = \sum_{k=0}^n b_k \, ,$

1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 5, 4, … (последовательность A020986 в OEIS)

удовлетворяют неравенству

$\sqrt{\frac{3n}{5}} < s_n < \sqrt{6n} \text{ for } n \ge 1.$

См. также

• Многочлены Шапиро

Примечания

1. ↑ ^{1 2} A Case Study in Mathematical Research: The Golay-Rudin-Shapiro Sequence, John Brillhart and Patrick Morton
2. ↑ Weisstein, Eric W. Rudin-Shapiro Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. ↑ Finite automata and arithmetic, Jean-Paul Allouche

Литература

• Jean-Paul Allouche and Jeffrey Shallit Automatic Sequences Cambridge University Press 2003