Поличисла


Поличисла

Поличисла (n-числа)

Алгебра поличисел ~P_n реализуется элементами A \in P_n вида:


A=A_1 e_1 + \dots + A_n e_n,

где A_i \in P_n, \quad {e_i} – набор образующих ~P_n, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):


e_i  e_j = 0  \quad (i \neq j), \quad  e_i^2=1.

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все A_i \neq 0 (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:


I=e_1+ \dots +e_n
.

На алгебре ~P_n существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:


A^{(1)}=A^{\ast}=A_ne_1+A_1e_2+ \dots +A_{n-1}e_n
,

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла ~A. k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:


A^{(k)}= A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast } \quad (k - раз )

Очевидно, что ~A^{(n)}=A.

Рассмотрим поличисло вида

 N(A)=A  A^{(1)}  A^{(2)}  \dots  A^{(n-1)},  (1)

где A \in P_n.

Нетрудно проверить, что ~N(A) вещественно в том смысле, что

~N(A)=r^nI, где  r^n \in R.

Число ~r называется (квази)нормой поличисла ~A. Квазинорма ~r выражается через координаты поличисла ~A по формуле :

r ^ n=A_1 A_2 \dots A_n = G (A,A, \dots ,A),       (2)

где ~G – n-форма

G= \hat{S} \left(dx^1 \otimes \cdots \otimes dx^n\right),             (3)

\hat{S} – оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда-Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда-Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой ~N(A), являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы ~|z|^2=zz^{\ast} на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

~( \zeta, \xi)=Re( \zeta \xi),

где \zeta , \xi \in C, можно рассмотреть n-линейную форму

(A,B,\dots,Z)=\text{Re}(AB\dots Z)=\sum\limits_{\sigma(A,B,\dots,Z)} AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}= n! G(A,B,{\dots},Z).\quad      (4)     

Здесь суммирование производится по множеству \sigma(A,B,{\dots},Z) всех перестановок элементов A,B,{\dots},Z\in P_{n}. Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда-Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел ~P_n является прямой суммой ~n экземпляров алгебры вещественных чисел ~R. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит n гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра ~P_{n,m}, представляющая собой прямую сумму ~n экземпляров алгебры вещественных чисел ~R и ~m экземпляров алгебры комплексных чисел ~C [1].

Примечания

  1. Г.И. Гарасько, Начала финслеровой геометрии для физиков, М.: Тетру, 2009.

Литература

<1> И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973

<2> М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

<3> Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.

<4> С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ "Логос", вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Поличисла" в других словарях:

  • Гиперкомплексное число — Гиперкомплексные числа различные расширения вещественных чисел, как то комплексное число, кватернионы и пр. Содержание …   Википедия