Подпространство Крылова

В линейной алгебре, подпростра́нством Крыло́ва размерности $~ m$ порождённым вектором $~v \in \mathbb{C}^n$ и матрицей $~A\in \mathbb{C}^{n \times n}$ называется линейное пространство

$~ \mathcal{K}_m (v,A) = span \mathcal {f} v, Av, A^2 v, ..., A^{m-1} v \mathcal {g} .$

Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: $~ \mathcal{K}_m \subset \mathbb{C}^n.$

Такие пространства были названы в честь российского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.

Размерность подпространства Крылова

В силу конечномерности пространства $~ \mathbb{C}^{n}$ найдётся такое $p\;(0\le p \le n),$ что векторы $~ v,\; Av,\; A^2 v,\; ...,\; A^{p-1} v$ линейно-независимы, а $~A^p v$ есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами $~ \gamma_1,\;\gamma_2,\;...,\;\gamma_p:$

$~ A^p v=- \gamma_1 A^{p-1} v - \gamma_2 A^{p-2} v-...- \gamma_p v$

Составим полином $\varphi (\lambda)=\lambda^p + \gamma_1 \lambda^{p-1} + \gamma_2 \lambda^{p-2} +...+\gamma_p$ и получим:

$~ \varphi (A)v=0.$

Полином $~ \varphi (A)$ степени $~p$ является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.

Свойства подпространства Крылова

1. $\mathcal{K}_p$ инвариантно относительно $~ A$ и $\mathcal{K}_m=\mathcal{K}_p$ для любого $m \ge p.$

2. $dim(\mathcal{K}_m)=min \mathcal{f} m,p \mathcal{g}.$

Методы Крыловского типа

Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.

Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:

$~ \mathcal{K}_m (v,A) = span \mathcal {f} v_1, v_2, v_3, ..., v_m \mathcal {g} ,$

где

$~v_1=v,\; v_2=Av_1,\; v_3=Av_2,\;...,\;v_m=Av_{m-1}$.

Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.

См. также

• Метод Крылова для нахождения характеристического многочлена матрицы.
• Проекционные методы решения СЛАУ
• Биортогонализация Ланцоша

Литература

• Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем.. — 1931. — С. 26.
• Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — 2nd edition. — SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. — С. 477. — ISBN 0898715342
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2е издание. — М.: Наука, 1966. — С. 576. — ISBN 5-9221-0524-8
• Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — С. 70.

Примечания

Ссылки

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.