Отражающая функция Мироненко

Отражающая функция — функция, связывающая прошлое состояние системы с её будущим состоянием в симметричный момент времени. Понятие отражающей функции введено Владимиром Ивановичем Мироненко.

Определение

Пусть $\varphi(t;t_0,x)$ есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений $\dot x=X(t,x),$ решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой $F(t,x)=\varphi(-t;t,x).$

Применение

Для $\,2\omega$-периодической по переменной $t$ системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией $\,F(t,x)$ отображение $\,\Pi(x)$ за период $\,[-\omega;\omega]$ (отображение Пуанкаре) находится по формуле $\,\Pi(x)=F(-\omega,x).$ Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные $\,(\omega,x_0)$ для $\,2\omega$-периодических решений $\varphi(t;-\omega,x_0)$ рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция $\,F(t,x)$ системы $\dot x=X(t,x)$ удовлетворяет так называемому основному соотношению

$\,F_t+F_x X+X(-t,F)=0,$ $\,F(0,x)=x.$

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение $\,\Pi(x)$ за период $\,[-\omega;\omega]$ может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

См. также

• Отображение Пуанкаре

Литература

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Ссылки

• Сайт об отражающей функции
• How to construct equivalent differential systems