Правило резолюций

В математической логике и автоматическом доказательстве теорем, пра́вило резолю́ций — это правило вывода, восходящее к методу доказательства теорем через поиск противоречий; используется в логике высказываний и логике предикатов первого порядка. Правило резолюций, применяемое последовательно для списка резольвент, позволяет ответить на вопрос, существует ли в исходном множестве логических выражений противоречие. Правило разработано Джоном Аланом Робинсоном в 1965 г.
Алгоритмы доказательства выводимости $A \vdash B$, построенные на основе этого метода, применяются во многих системах искусственного интеллекта, а также являются фундаментом, на котором построен язык логического программирования «Пролог».

Исчисление высказываний

Пусть $C'_1$ и $C'_2$ - два предложения в исчислении высказываний, и пусть $C_1 = P \or C'_1$, а $C_2 = \lnot P \or C'_2$, где $P$ - пропозициональная переменная, а $C'_1$ и $C'_2$ - любые предложения (в частности, может быть, пустые или состоящие только из одного литерала).

Правило вывода

$\frac{C_1, C_2}{C'_1 \or C'_2} P$

называется правилом резолюции. ^[1]

Предложения C₁ и C₂ называются резольвируемыми (или родительскими), предложение $C'_1 \or C'_2$ - резольвентой, а формулы $P$ и $\lnot P$ - контрарными литералами. В общем в правиле резолюции берутся два выражения и вырабатывается новое выражение, содержащее все литералы двух первоначальных выражений, за исключением двух взаимно обратных литералов.

Метод резолюции

Доказательство теорем сводится к доказательству того, что некоторая формула $~G$ (гипотеза теоремы) является логическим следствием множества формул $~F_1,...,F_k$ (допущений). Т.е. сама теорема может быть сформулирована следующим образом: "если $~F_1,...,F_k$ истинны, то истинна и $~G$".

Для доказательства того, что формула $~G$ является логическим следствием множества формул $~F_1,...,F_k$, метод резолюций применяется следующим образом. Сначала составляется множество формул $\mathcal {f} F_1,...,F_k, \neg G \mathcal {g}$ . Затем каждая из этих формул приводится к КНФ (конъюнкция дизъюнктов) и в полученных формулах зачеркиваются знаки конъюнкции. Получается множество дизъюнктов $S$. И, наконец, ищется вывод пустого дизъюнкта из $S$. Если пустой дизъюнкт выводим из $S$, то формула $~G$ является логическим следствием формул $~F_1,...,F_k$. Если из $S$ нельзя вывести #, то $~G$ не является логическим следствием формул $~F_1,...,F_k$. Такой метод доказательства теорем называется методом резолюций.
Рассмотрим пример доказательства методом резолюций. Пусть у нас есть следующие утверждения:

"Яблоко красное и ароматное."

"Если яблоко красное, то яблоко вкусное."

Докажем утверждение "яблоко вкусное". Введем множество формул, описывающих простые высказывания, соответствующие вышеприведенным утверждениям. Пусть

X1 — "Яблоко красное",

X2 — "Яблоко ароматное",

X3 — "Яблоко вкусное".

Тогда сами утверждения можно записать в виде сложных формул:

$X1 \And X2$ — "Яблоко красное и ароматное."

$X1 \rightarrow X3$ — "Если яблоко красное, то яблоко вкусное."

Тогда утверждение, которое надо доказать, выражается формулой X3.
Итак, докажем, что X3 является логическим следствием $(X1 \And X2)$ и $(X1 \rightarrow X3)$. Сначала составляем множество формул с отрицанием доказываемого высказывания; получаем:
$\mathcal {f} (X1 \And X2), (X1 \rightarrow X3), \neg X3 \mathcal {g}.$
Теперь приводим все формулы к конъюнктивной нормальной форме и зачеркиваем конъюнкции. Получаем следующее множество дизъюнктов:
$\mathcal {f} X1, X2, (\neg X1 \vee X3), \neg X3 \mathcal {g}.$
Далее ищем вывод пустого дизъюнкта.
Применяем к первому и третьему дизъюнктам правило резолюции:
$\mathcal {f} X1, X2, (\neg X1 \vee X3), \neg X3, X3 \mathcal {g}.$
Применяем к четвёртому и пятому дизъюнктам правило резолюции:
$\mathcal {f} X1, X2, (\neg X1 \vee X3), \neg X3, X3, \# \mathcal {g}.$
Таким образом пустой дизъюнкт выведен, следовательно выражение с отрицанием высказывания опровергнуто, следовательно само высказывание доказано.

Полнота и компактность метода

Правило резолюции обладает свойством полноты в том смысле, что с помощью него всегда можно вывести из $S$ пустой дизъюнкт #, если исходное множество дизъюнктов $S$ является противоречивым.

Отношение выводимости (из-за конечности вывода) является компактным: если $S\vdash\#$, то существует такое конечное подмножество $S' \subseteq S$, что $S'\vdash\#$. Поэтому предварительно нужно доказать, что отношение невыполнимости является компактным.

Лемма. Если каждое конечное подмножество $S' \subseteq S$ имеет выполняющую оценку, то имеется выполняющая оценка для всего множества дизъюнктов $S$.

Доказательство. Предположим, что в $S$ встречаются дизъюнкты, использующие счетное множество пропозициональных переменных $p_{1}, \ldots, p_{k}, \ldots$. Построим бесконечное двоичное дерево, где из каждой вершины на высоте $k$ выходят два ребра, помеченное литералами $\neg p_{k+1}$ и $p_{k+1}$ соответственно. Удалим из этого дерева те вершины, литералы по пути в которые образуют оценку, противоречащую хотя бы одному дизъюнкту $S$.

Для каждого $k$ рассмотрим конечное подмножество $S_{k} \subseteq S$, состоящее из дизъюнктов, не содержащих переменных $p_{k+1}, p_{k+2}, \ldots$. По условию леммы найдется такая оценка переменных $p_{1}, \ldots, p_{k}$ (или путь до вершины на уровне $k+1$ обрезаном дереве), что она выполняет все дизъюнты из $S_{k}$. Значит, обрезанное дерево бесконечно (то есть содержит бесконечное множество вершин). По лемме Д.Кёнига обрезанное дерево содержит бесконечную ветвь. Этой ветви соответствует оценка всех переменных $p_{1}, \ldots, p_{k}, \ldots$, которая делает истинными все дизъюнкты из $S$. Что и требовалось.

Теорема о полноте метода резолюций для логики высказываний

Теорема. Множество дизъюнктов S противоречиво тогда и только тогда, когда существует опровержение в S (или из S).

Доказательство. Необходимость (корректность метода резолюций) очевидна, так как пустой дизъюнкт не может быть истинен ни при какой оценке. Приведём доказательство достаточности. По лемме о компактности достаточно ограничиться случаем конечного числа пропозициональных переменных. Проводим индукцию по числу пропозициональных переменных $n$, встречающихся хотя бы в одном дизъюнкте из $S$. Пусть теорема полноты верна при $n=k$, докажем ее истинность при $n=k+1$. Другими словами, покажем, что из любого противоречивого множества $S$ дизъюнктов, в котором встречаются пропозициональные переменные $p_{1}, \ldots, p_{k+1}$, можно вывести пустой дизъюнкт.

Выберем любую из $k+1$ пропозициональных переменных, например, $p_{k+1}$. Построим по $S$ два множества дизъюнктов $S^{+}_{k+1}$ и $S^{-}_{k+1}$. В множество $S^{+}_{k+1}$ поместим те дизъюнкты из $S$, в которых не встречается литерал $\neg p_{k+1}$, причем из каждого такого дизъюнкта удалим литерал $p_{k+1}$ (если он там встречается). Аналогично, множество $S^{-}_{k+1}$ содержит остатки дизъюнктов $S$, в которых не встречается литерал $p_{k+1}$, после удаления литерала $\neg p_{k+1}$ (если он в них встречается).

Утверждается, что каждое из множеств дизъюнктов $S^{+}_{k+1}$ и $S^{-}_{k+1}$ является противоречивым, то есть не имеет выполняющей все дизъюнкты одновременно оценки. Это верно потому, что из оценки $\rho^{+}$, выполняющей все дизъюнкты множества $S^{+}_{k+1}$ одновременно, можно построить оценку $\rho^{+}\cup [\rho(p_{k+1})=0]$, одновременно выполняющей все дизъюнкты множества $S$. То, что эта оценка выполняет все опущенные при переходе от $S$ к $S^{+}_{k+1}$ дизъюнкты, очевидно, ибо эти дизъюнкты содержат литерал $\neg p_{k+1}$. Остальные дизъюнкты $S$ выполняются по предположению, что оценка $\rho^{+}$ выполняет все дизъюнкты множества $S^{+}_{k+1}$, а, значит, и все расширенные (путем добавления выброшенного литерала $p_{k+1}$). Аналогично, из оценки $\rho^{-}$, выполняющей все дизъюнкты множества $S^{-}_{k+1}$ одновременно, можно построить оценку $\rho^{-}\cup [\rho(p_{k+1})=1]$, одновременно выполняющей все дизъюнкты множества $S$.

По предположению индукции из противоречивых множеств дизъюнктов $S^{+}_{k+1}$ и $S^{-}_{k+1}$ (так как в каждом из них встречаются только $k$ пропозициональных переменных $p_{1}, \ldots, p_{k}$) имеются выводы пустого дизъюнкта. Если мы восстановим опущенный литерал $p_{k+1}$ для дизъюнктов множества $S^{+}_{k+1}$ в каждом вхождении вывода пустого дизъюнкта, то получим вывод дизъюнкта, состоящего из одного литерала $p_{k+1}$. Аналогично из вывода пустого дизъюнкта из противоречивого множества $S^{-}_{k+1}$ получаем вывод дизъюнкта, состоящего из одного литерала $\neg p_{k+1}$. Осталось один раз применить правило резолюции, чтобы получить пустой дизъюнкт. Что и требовалось доказать.

Исчисление предикатов

Пусть C₁ и C₂ - два предложения в исчислении предикатов.

Правило вывода

$\frac{C_1, C_2}{(C'_1 \or C'_2)\sigma}P$

называется правилом резолюции в исчислении предикатов, если в предложениях C₁ и C₂ существуют унифицированные контрарные литералы P₁ и P₂, то есть $C_1 = P_1 \or C'_1$, а $C_2 = \lnot P_2 \lor C'_2$, причём атомарные формулы P₁ и P₂ являются унифицируемыми наиболее общим унификатором $\sigma$.

В этом случае резольвентой предложений C₁ и C₂ является предложение $(C'_1 \or C'_2)\sigma$, полученное из предложения $C'_1 \or C'_2$ применением унификатора $\sigma$. ^[2]

Однако вследствие неразрешимости логики предикатов первого порядка для выполнимого (непротиворечивого) множества дизъюнктов процедура, основанная на принципе резолюции, может работать бесконечно долго. Обычно резолюция применяется в логическом программировании в совокупности с прямым или обратным методом рассуждения. Прямой метод (от посылок) из посылок А, В выводит заключение В (правило modus ponens). Основной недостаток прямого метода рассуждения состоит в его ненаправленности: повторные применения метода обычно приводят к резкому росту промежуточных заключений, не связанных с целевым заключением.
Обратный метод (от цели) является направленным: из желаемого заключения В и тех же посылок он выводит новое подцелевое заключение А. Каждый шаг вывода в этом случае всегда связан с первоначально поставленной целью.
Существенный недостаток принципа резолюции заключается в формировании на каждом шаге вывода множества резольвент — новых дизъюнктов, большинство из которых оказываются лишними. В связи с этим разработаны различные модификации принципа резолюции, использующие более эффективные стратегии поиска и различного рода ограничения на вид исходных дизъюнктов.

Ссылки

1. ↑ Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем стр. 77
2. ↑ Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем стр. 85

Литература

• Чень Ч., Ли Р. Глава 5. Метод резолюций // Математическая логика и автоматическое доказательство теорем = Chin-Liang Chang; Richard Char-Tung Lee (1973). Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Academic Press. — М.: «Наука», 1983. — С. 358.
• Нильсон Н. Дж. Принципы искусственного интеллекта. — М., 1985.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М., 1984.
• Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект: современный подход = Artificial Intelligence: a Modern Approach. — М.: Вильямс, 2006.