Оператор физической величины

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение ... Математическая формулировка ... Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность · Измерение · Неопределённость · Запрет Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Оператор — это математический символ для обозначения действия или программ действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы однозначно получить другую функцию.

В квантовой механике операторы действуют на волновую функцию, являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояние системы, и обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху. Например:

$\hat{A},\hat{B},\hat{C},\dots$

Оператор действует на функцию, которая стоит справа от него (говорят также, что он применяется к функции или умножается на функцию):

$\hat{A}\Psi_1 = \Psi_2$

В квантовой механике используется математическое свойство линейных операторов, заключающееся в том, что каждый из них имеет собственные векторы и собственные значения. Они выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин.

Арифметические операции над операторами

• Оператор $\hat{C}$ называется суммой операторов $\hat{A},\hat{B}$, если для любой функции $\ \Psi$ выполнено условие:

$\hat{C}\Psi=\hat{A}\Psi+\hat{B}\Psi$

• Оператор $\hat{C}$ называется разностью операторов $\hat{A},\hat{B}$, если для любой функции $\ \Psi$ выполнено условие:

$\hat{C}\Psi=\hat{A}\Psi-\hat{B}\Psi$

• Оператор $\hat{C}$ называется произведением операторов $\hat{A},\hat{B}$, если для любой функции $\ \Psi$ выполнено условие:

$\hat{C}\Psi=\hat{A}(\hat{B}\Psi)$

В общем случае

$\hat{A}\hat{B}\not=\hat{B}\hat{A}$

Если $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$, то говорят, что операторы $\hat{A},\hat{B}$ коммутируют. Коммутатор операторов определяется как

$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$

Собственные значения и собственные функции оператора

Если имеет место равенство:

$\hat{A}\Psi=a\Psi,$

то $\ a$ называют собственным значением оператора $\hat{A}$, а функцию $\ \Psi$ — собственной функцией оператора $\hat{A},$ соответствующей данному собственному значению. Чаще всего у оператора имеется множество собственных значений: $\ a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Линейные и самосопряжённые операторы

Оператор $\hat{L}$ называется линейным, если для любой пары $\varphi_{i},C_{i}$ выполнено условие:

$\hat{L}\sum_{i}C_{i}\varphi_{i}=\sum_{i}C_{i}\hat{L}\varphi_{i}.$

Оператор $\hat{A}$ называется самосопряжённым (эрмитовым), если для любых $\Psi,\varphi$ выполнено условие:

$\left\langle \Psi|\hat{A}\varphi \right\rangle = \left\langle \hat{A}\Psi|\varphi \right\rangle$

При этом сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. Произведение самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор, если они коммутируют. Собственные значения самосопряжённых операторов всегда вещественны. Собственные функции самосопряжённых операторов, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны.

Операторы, используемые в квантовой физике

В квантовой физике основным физическим величина сопоставляются линейные самосопряжённые операторы. Это делается в основном по двум причинам:

• Собственные значения самосопряжённых операторов, соответствующие конкретным значениям физических величин, являются вещественными числами, то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.).

• Одна и та же квантовая частица может находится одновременно во множестве квантовых состояний, которые и характеризуются множеством собственных значений соответствующего оператора. Это может быть конечное множество (дискретный спектр значений), интервал (непрерывный спектр значений) или смешанное множество.

В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле были введены следующие операторы:

• Оператор импульса:

$\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$

Здесь $\ i$ — мнимая единица, $\nabla$ — оператор набла.

• Оператор кинетической энергии:

$\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2m}\mathcal{4}$

Здесь $\hbar$ — постоянная Планка, $\mathcal{4}$ — оператор Лапласа.

• Оператор потенциальной энергии:

$\hat{U}=U(x,y,z,t)$

Действие оператора здесь сводится к умножению на функцию.

• Оператор Гамильтона:

$\hat{H}=\hat{T}+\hat{U}$

• Оператор момента импульса:

$\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar[\mathbf{r},\nabla]$