Механические приложения двойного интеграла

Механические приложения двойного интеграла

Пусть в плоскости Oxy есть материальная пластинка, то есть некоторая область D, по которой распределена масса с плотностью μ(x, y). Тогда:

• масса пластинки

$\iint\limits_{D} \mu(x, y)\, dx\, dy$

• статические моменты относительно координатных осей:

$M_x = \iint\limits_{D} y\mu(x, y)\, dx\, dy$, $M_y = \iint\limits_{D} x\mu(x, y)\, dx\, dy$

• координаты (x_c, y_c) центра масс пластинки:

$y_c = \frac{M_y}{m}$, $x_c = \frac{M_x}{m}$

• момент инерции пластинки
  • относительно оси O_y $I_y = \iint\limits_{D} x^2\mu(x, y)\, dx\, dy$
  • относительно оси O_x $I_x = \iint\limits_{D} y^2\mu(x, y)\, dx\, dy$
  • относительно начала координат $I_0 = \iint\limits_{D} (x^2 + y^2)\mu(x, y)\, dx\, dy$

См. также

• Механические приложения интегралов