- t-критерий Стьюдента
-
t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.
t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии.
Содержание
История
Данный критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
Требования к данным
Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.
Требование нормальности распределения данных является необходимым для точного -теста. Однако, даже при других распределениях данных возможно использование -статистики. Во многих случаях эта статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение — , поэтому можно использовать квантили этого распределения. Однако, часто даже в этом случае используют квантили не стандартного нормального распределения, а соответствующего распределения Стьюдента, как в точном -тесте. Асимптотически они эквивалентны, однако на малых выборках доверительные интервалы распределения Стьюдента шире и надежнее.
Одновыборочный t-критерий
Применяется для проверки нулевой гипотезы о равенстве математического ожидания некоторому известному значению .
Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы . С учётом предполагаемой независимости наблюдений . Используя несмещенную оценку дисперсии получаем следующую t-статистику:
При нулевой гипотезе распределение этой статистики . Следовательно, при превышении критического значения нулевая гипотеза отвергается.
Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок
Пусть имеются две независимые выборки объемами нормально распределенных случайных величин . Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенстве математических ожиданий этих случайных величин .
Рассмотрим разность выборочных средних . Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена . Дисперсия этой разности равна исходя из независимости выборок: . Тогда используя несмещенную оценку дисперсии получаем несмещенную оценку дисперсии разности выборочных средних: . Следовательно, t-статистика для проверки нулевой гипотезы равна
Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение , где
Случай одинаковой дисперсии
В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то . Тогда t-статистика равна:
Эта статистика имеет распределение
Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборок
Для вычисления эмпирического значения t-критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:
где — средняя разность значений, — стандартное отклонение разностей, а n — количество наблюдений
Эта статистика имеет распределение .
Проверка линейного ограничения на параметры линейной регрессии
С помощью t-теста можно также проверить произвольное (одно) линейное ограничение на параметры линейной регрессии, оцененной обычным методом наименьших квадратов. Пусть необходимо проверить гипотезу . Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы . Здесь использовано свойство несмещенности МНК-оценок параметров модели . Кроме того, . Используя вместо неизвестной дисперсии ее несмещенную оценку получаем следующую t-статистику:
Эта статистика при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение , поэтому если значение статистики выше критического, то нулевая гипотеза о линейном ограничении отклоняется.
Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии
Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента регрессии некоторому значению . В этом случае соответстующая t-статистика равна:
где — стандартная ошибка оценки коэффициента — квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.
При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики — . Если значение статистики выше критического значения, то отличие коэффициента от является статистически значимым (неслучайным), в противном случае — незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению )
Замечание
Одновыборочный тест для математических ожиданий можно свести к проверке линейного ограничения на параметры линейной регрессии. В одновыборочном тесте это «регрессия» на константу. Поэтому регрессии это и есть выборочная оценка дисперсии изучаемой случайной величины, матрица равна , а оценка «коэффициента» модели равна выборочному среднему. Отсюда и получаем выражение для t-статистики, приведенное выше для общего случая.
Аналогично можно показать, что двухвыборочный тест при равенстве дисперсий выборок также сводится к проверке линейных ограничений. В двухвыборочном тесте это «регрессия» на константу и фиктивную переменную, идентифицирующую подвыборку в зависимости от значения (0 или 1): . Гипотеза о равенстве математических ожиданий выборок может быть сформулирована как гипотеза о равенстве коэффициента b этой модели нулю. Можно показать, что соответствующая t-статистика для проверки этой гипотезы равна t-статистике, приведенной для двухвыборочного теста.
Также к проверке линейного ограничения можно свести и в случае разных дисперсий. В этом случае дисперсия ошибок модели принимает два значения. Исходя из этого можно также получить t-статистику, аналогичную приведенной для двухвыборочного теста.
Непараметрические аналоги
Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является U-критерий Манна–Уитни. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются критерий знаков и T-критерий Вилкоксона
Литература
Student. The probable error of a mean. // Biometrika. 1908. № 6 (1). P. 1-25.
Статистические показатели Описательная
статистикаНепрерывные
данныеКоэффициент сдвига Среднее (Арифметическое, Геометрическое, Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс Дискретные
данныеЧастота · Таблица контингентности Статистический
вывод и
проверка
гипотезСтатистический
выводДоверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование
экспериментаГенеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения · Метод максимального правдоподобия · Метод моментов нахождения оценок · Оценка минимального расстояния · Оценка максимального интервала Статистические
критерииZ-тест · t-критерий Стьюдента · Критерий Фишера · Критерий Пирсона (Хи-квадрат) · Тест Вальда · U-критерий Манна — Уитни · Критерий Уилкоксона · Критерий Краскела — Уоллиса · Критерий Кохрена · Критерий Лиллиефорса Анализ выживания Функция выживания · Оценка Каплана — Мейера · Логранк-тест · Интенсивность отказов · Пропорциональная модель опасностей Корреляция Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания Линейные модели Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ Регрессия Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами Категория:- Статистические критерии
Wikimedia Foundation. 2010.