Закон Рэлея

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела $u(\omega , T)$ и для испускательной способности абсолютно чёрного тела $f(\omega , T)$ который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).^[1][2][3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неудовлетворительность классической физики.

Вывод формулы

Зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую  — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

$\mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{2 \pi^2 v^3} \qquad\qquad (1)$.

В нашем случае скорость $v$ следует положить равной $c$, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

$\mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (2)$.

Релей и Джинс каждому колебанию приписали энергию $\overline {\varepsilon}=kT$. Помножив (2) на $\overline {\varepsilon}$,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот $\mathrm{d} \omega$:

$u(\omega,T) \mathrm{d} \omega = \overline {\varepsilon} \mathrm{d}n_{\omega}= kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \mathrm{d} \omega$,

тогда:

$u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (3)$.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела $f(\omega,T)$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения $f(\omega,T)= \frac{c}{4} u(\omega,T)$, для $f(\omega,T)$ находим:

$f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2} \qquad\qquad (4)$

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея-Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Основная статья: Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование (3) по $\omega$ в пределах от 0 до $\infty$ для равновесной плотности энергии $u(T)$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях $u(T)$. Однако ошибки в выводе формулы Релея-Джинса с классической точки зрения  —— нет^{[источник не указан 418 дней]}. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции $u(\omega , T)$, соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

Примечания

1. ↑ Strutt JW (Rayleigh) (1900). «Remarks upon the law of complete radiation». Phil. Mag. 49: 539-540.
2. ↑ Jeans JH (1905). «On the laws of radiation» (pdf). Proc. R. Soc. Lond. A 76: 545-552. DOI:10.1098/rspa.1905.0060.
3. ↑ Говард Д. (1966). «Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей)» (pdf). УФН 88 (1): 149-160.