Уравнение Риккати

Уравнение Риккати (итал. Equazione di Riccati) — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

$\frac{dx}{dt} = a(t)x^2 + b(t)x + c(t). \quad (*)$

Уравнением Риккати называют также многомерный аналог (*), то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными $x_1, \ldots, x_n,$ правые части которых являются многочленами второй степени от переменных $x_1, \ldots, x_n$ с зависящими от $t$ коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии,^[1] теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем,^[2] вариационном исчислении,^[3] теории конформных отображений, квантовой теории поля.^[4]

История

Частный случай такого уравнения:

$b\frac{dx}{dt} = x^2 + at^{\alpha}, \quad (**)$

где $\alpha,\, a,\, b\neq 0$ — постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай старший и Николай младший). ^{[5] [6] [7]} Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: $\alpha = {4n}/{(1-2n)}, \ n \in \mathbb{N},\,$ или $\alpha=-2.\,$ Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях $\alpha$ решение уравнения (**) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида (*) часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида (**) — специальным уравнением Риккати.

Свойства

• Уравнение Риккати (*) в случае $a(t)=0$ является линейным и интегрируется в квадратурах.
• Уравнение Риккати (*) в случае $c(t)=0$ является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены $y=1/x.$
• Общее решение уравнения Риккати (*) является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением (*).
• Если $x_1(t), \ldots, x_4(t)$ — частные решения уравнения Риккати (*), соответствующие значениям $c_1, \ldots, c_4$ постоянной интегрирования, то имеет место тождество

$\frac{x_3(t)-x_1(t)}{x_3(t)-x_2(t)} : \frac{x_4(t)-x_1(t)}{x_4(t)-x_2(t)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}. \quad (***)$

• Левая часть тождества (***) — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати (*). Таким образом, общее решение уравнения (*) восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле (***).

Обобщение

Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение

$\frac{dX}{dt} = XA(t)X + B_1(t)X + XB_2(t) + C(t)$

относительно неизвестной квадратной матрицы $X=(x_{ij})$ порядка $n$, в котором $A,B_1,B_2,C$ — заданные квадратные матрицы порядка $n$ с зависящими от переменной $t$ коэффициентами.

В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида

$\frac{dW}{dt} = (R(t)+W) \cdot P^{-1}(t)\cdot (R^*(t)+W) - Q(t)$

относительно неизвестной квадратной матрицы $W=(w_{ij})$ порядка $n$, в котором $P,Q,R$ — заданные квадратные матрицы порядка $n$ с зависящими от переменной $t$ коэффициентами, причем $\det P\neq 0,$ звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала

$J=\int f(t,x,\dot x) \,dt, \quad x = (x_1, \ldots, x_n),$

в стационарной точке $\widehat x(\cdot).$ При этом матрицы

$P(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial \dot x_i \partial \dot x_j}\Bigr) \Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \, Q(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \, R(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial \dot x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}.$

Литература

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Егоров А.И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.

• Лауфер М.Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М.Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей, — НТО кораблестроителей им. акад. А.Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. Фонда, Северодвинск, 2005, стр. 137-142.

Ссылки

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation

Примечания

1. ↑ Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
2. ↑ Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.
3. ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
4. ↑ Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
5. ↑ Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
6. ↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.
7. ↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.