Уравнение Грэда — Шафранова

Уравнение Грэда — Шафранова

Уравнение Грэда — Шафранова — уравнение равновесия плазмы в токамаке. Это уравнение получено В. Д. Шафрановым в 1957 году и независимо Г. Грэдом и Г. Рубиным в 1958.

В цилиндрических координатах оно имеет вид:

$r^2\mathrm{div}\left(\frac{1}{r^2}\nabla\Psi\right)=-r^2\mu_0\cdot p^\prime(\Psi)-\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}F(\Psi)\cdot F^\prime(\Psi)$,

или

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial r}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}=-r^2\mu_0\cdot\frac{dp}{d\Psi}-\frac{\mu_0^2}{4\pi^2} F(\Psi)\cdot \frac{dF}{d\Psi}$,

где:

• Ψ — магнитный поток через внешнюю полоидальную перегородку;
• F — полоидальный ток;
• p — давление плазмы;
• μ₀ — магнитная постоянная.

Индукция магнитного поля:

$\vec{B}=\frac{\mu_0\cdot F}{2\pi r}\vec{e}_\varphi+\frac{\nabla\Psi\times\vec{e}_\varphi}{r}$

Плотность тока:

$\vec{j}=\frac{1}{2\pi}\frac{dF}{d\Psi}\vec{B}+\frac{dp}{d\Psi}r\cdot \vec{e}_\varphi$

Литература

• Физическая энциклопедия, Т. 5, Тороидальные системы
• T. J. M. Boyd, J. J. Sanderson The physics of plasmas
• Kenrō Miyamoto Plasma physics and controlled nuclear fusion
• Masahiro Wakatani Stellarator and heliotron devices