Рефлексивное замыкание

Рефлексивное замыкание

Отношения R на множестве X называется рефлексивным , если для любого хєХ имеет место хRх, то есть каждый элемент хєХ находится в отношении R к самому себе.

С определения выплывает, что в случае конечного множества А: (R – рефлексивное) ó (ɏi: (Mr)ii=1)

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю – дугу (х, х).

Отношения R на множестве Х называется антирефлексивным , если с х1Rх2 виходит, что х1<>х2.

(R –анти рефлексивное) ó (ɏi: (Mr)ii=0)

Свойства антирефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли – нет дуг вида (х, х).

Отношение <= на множестве действительных чисел рефлексивное, отношение < на множестве действительных чисел – антирефлексивное.

Отношение «имеет общий делитель» на множестве целых чисел рефлексивное, отношения «быть сыном» на множестве людей – антирефлексивное. Отношение «быть симметричным относительно оси Х на множестве точек координатной плоскости» не являются не рефлексивным, не антирефлексивным : точка плоскости симметрична сама себе, если она лежит на оси Х, и несимметрична сама себе в противном случае.

Пример 1:

1) рефлексивным является тождественное выражение Ia и полное отношение квадрата для произвольного множества А

2) пусть А=R. Тогда отношение «=», «≤», «≥» рефлексивны.

Пример 2:

1) Антирефлексивным является пустое отношение пустого множества;

2) Пусть А=R. Тогда отношение «<>», «<», «>».