Антиплоский сдвиг

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация - частный случай напряжённо-деформированного состояния упругого тела. Такое состояние возникает когда поле перемещений является нулевым в рассматриваемой плоскости, но ненулевым в направлении, перпендикулярном к плоскости. В случае малых деформаций тензор деформаций может быть записан в виде

$\underline{\underline{\varepsilon}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \varepsilon_{13} \\ 0 & 0 & \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{13} & \varepsilon_{23} & 0\end{bmatrix}$

если рассматривается плоскость $Ox_1x_2\,$ и вектор перемещений сонаправлен с осью $Ox_3\,$ .

Перемещения

В состоянии антиплоского сдвига поле перемещений (в прямоугольных декартовых координатах) имеет вид:

$u_1 = u_2 = 0 ~;~~ u_3 = u_3(x_1, x_2)$

где $u_i,~ i=1,2,3$ перемещения в направлениях осей $x_1, x_2, x_3\,$.

Напряжения

Для изотропного, линейно упругого материала, тензор напряжений, вытекающий из состояния антиплоского сдвига, может быть представлен в виде

$\boldsymbol{\sigma} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_1} \\ 0 & 0 & \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_2} \\ \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_1} & \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_2} & 0 \end{bmatrix}$

где $\mu\,$ - модуль сдвига материала.

Уравнения равновесия в случае антиплоского сдвига

В общем случае имеют место три уравнения равновесия. Однако, для антиплоского сдвига в предположении, что компоненты вектора массовых сил в направлении осей $x_1\,$ и $x_2\,$ равны нулю, они сводятся к одному уравнению следующего вида:

$\mu~\Delta u_3 + b_3(x_1, x_2) = 0$

где $b_3\,$ - компонента вектора массовых сил, направленная вдоль оси $x_3\,$ и $\Delta u_3 = \cfrac{\partial^2 u_3}{\partial x_1^2} + \cfrac{\partial^2 u_3}{\partial x_2^2}$.

Отметим, что такое уравнение подходит только для случая бесконечно малых деформаций.

Приложения

Гипотеза антиплоского сдвига используется при определении напряжений, вызванных краевой дислокацией.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.