Marching cubes

Модель, построенная из 150 слоев с МРТ с использованием алгоритма marching-cubes. Под поверхностью находятся около 150 000 полигонов и скрытых объектов. Размер сетки составляет 64 × 64 × 150 вокселей, кодированных 8-ю битами. Для сглаживания поверхности модели был применён пре-процессинг. «Дырка» в области виска является следствием пирсинга подопытного.

Marching cubes (англ. шагающие кубики) — алгоритм в компьютерной графике, впервые предложенный в 1987 году на конференции SIGGRAPH Вильямом Лоренсеном (англ. William E. Lorensen) и Харви Клайном (англ. Harvey E. Cline),^[1] для обработки полигональной сетки изоповерхности трехмерного скалярного поля (чаще называемой сеткой вокселей). Аналогичный алгоритм на плоскости называется marching squares.

Принцип работы

Алгоритм пробегает скалярное поле, на каждой итерации просматривает 8 соседних позиций (вершины куба, параллельного осям координат) и определяет полигоны, необходимые для представления части изоповерхности, проходящей через данный куб. Далее на экран выводятся полигоны, образующие заданную изоповерхность.

Так как алгоритм выбирает полигоны, исходя только из положения вершин куба относительно изоповерхности, всего получается 256 ($2^8 = 256$) возможных конфигураций полигонов, которые можно вычислить заранее и сохранить в массиве. Поэтому каждый куб можно представить восьмибитным числом, сопоставив каждой вершине 1, если значение поля в точке больше, чем на изоповерхности, и 0 в противном случае. Полученное число используется в качестве индекса элемента массива, хранящего конфигурации полигонов. Наконец каждая вершина сгенерированного полигона помещается в подходящую позицию на том ребре куба, на котором она лежала изначально. Позиция вычисляется путем линейной интерполяции значений скалярного поля в концах ребра.

15 различных конфигураций куба

Заранее вычисленный массив из 256 конфигураций полигонов можно получить поворотами и отражениями 15 различных конфигураций куба. Однако использование всего 15 базовых конфигураций не гарантирует получение замкнутой поверхности. Базовые конфигурации, лишенные этого недостатка, можно найти в специальной литературе.^[2]

Градиент скалярного поля в каждой точке сетки также является нормальным вектором предполагаемой изоповерхности, проходящей через эту точку. Поэтому возможно интерполировать эти нормали вдоль ребер каждого куба, чтобы найти нормали сгенерированных вершин, для корректного отображения модели при использовании освещения.

Данный алгоритм широко используется в медицине, например, в компьютерной и магнитно-резонансной томографии, а также для 3D моделирования метасфер или других метаповерхностей.

Патент

Алгоритм The Marching Cubes был первым примером в области компьютерной графики, который спровоцировал скандал в области патентования ПО. Он был запатентован, несмотря на относительную очевидность решения задачи генерации поверхности. Был разработан похожий алгоритм, названный marching tetrahedrons, для того чтобы обойти патент, используя вместо кубов тетраэдры. Срок действия патента истек в 2005 году, сейчас алгоритм можно свободно использовать. (Патент от 5 июня 1985 года^[3]).

Источники

1. ↑ William E. Lorensen, Harvey E. Cline: Marching Cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm. In: Computer Graphics, Vol. 21, Nr. 4, July 1987
2. ↑ ссылка?
3. ↑ Marching Cubes, US Patent Office entry

См. также

• Image-based meshing

Внешние ссылки

• Overview and source code by Paul Bourke
• GameDev overview by Matthew Ward of Worcester Polytechnic Institute
• Introductory description with additional graphics
• Some of the early history of Marching Cubes