Счетная дырка

Счетная дырка

Счетной дыркой в линейно упорядоченном множестве (X, < ) называется пара множеств (A,B) таких, что:

1. $A,B\subseteq X$,

1. $|A|,|B|\leqslant\aleph_0$ (не исключается случай $A=\varnothing$ или $B=\varnothing$),

1. A < B (то есть все элементы A меньше всех элементов B),

1. не существует $x\in X$ такого, что A < x < B

При $A=\varnothing$ наличие счетной дырки (A,B) означает, что в X нет наименьшего элемента, а при $B=\varnothing$ наличие счетной дырки (A,B) означает, что в X нет наибольшего элемента.

Линейно упорядоченное множество называется счетно насыщенным, если в нем нет счетных дырок.

Известно (Хаусдорф), что все счетно насыщенные линейно упорядоченные множества мощности $\aleph_1$ попарно изоморфны.