Уравнение диффузии

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

$\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\phi,\mathbf{r}) \ \nabla\phi(\mathbf{r},t) \big],$

где ϕ(r, t) — плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D(ϕ, r) — обобщённый диффузионный коэффициент для плотности ϕ в точке r; ∇ оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Если D симметричный положительно оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию:

$\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[D_{ij}(\phi,\mathbf{r})\frac{\partial \phi(\mathbf{r},t)}{\partial x_j}\right]$

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

$\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\mathbf{r},t),$

также называемому уравнением теплопроводности.

История происхождения

Дифференциальное уравнение в частных производных было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.^[1]

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$ уравнение имеет вид:

$\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=\frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).$

При постоянном $D$ приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),$

где $c(x,\;t)$ — концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,\;t)$ — функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r},\;t))+f(\vec{r},\;t),$

где $\nabla=(\partial_x,\;\partial_y,\;\partial_z)$ — оператор набла, а $(\;,\;)$ — скалярное произведение. Оно также может быть записано как

$\partial_t c=\mathbf{div}\,(D\,\mathbf{grad}\,c)+f,$

а при постоянном $D$ приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=D\Delta c(\vec{r},\;t)+f(\vec{r},\;t),$

где $\Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ — оператор Лапласа.

n-мерный случай

$n$-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$-мерные версии соответствующих операторов:

$\nabla=(\partial_1,\;\partial_2,\;\ldots,\;\partial_n),$

$\Delta=\nabla^2=\partial_1^2+\partial_2^2+\ldots+\partial_n^2.$

Это касается и двумерного случая $n=2$.

Мотивировка

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\Phi=\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}$ (одномерный случай),

$\mathbf j=\varkappa\nabla c$ (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x}=0$ (одномерный случай),

$\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{div}\,\mathbf j=0$ (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$ в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

Решение

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения с постоянным — не зависящем от $x$ и $t$ — $D$ (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией $c_f(x,\;0)=\delta(x)$ и граничном условии $c_f(\infty,\;t)=0$) есть

$c_f(x,\;t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right).$

В этом случае $c_f(x,\;t)$ можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время $t$ перейдёт в пункт с координатой $x$. То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки

$\langle x^2\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 c_f(x,\;t)\,dx=2Dt.$

В случае произвольного начального распределения $c(x,\;0)$ общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

$c(x,\;t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)c_f(x-x',\;t)\,dx'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4Dt}\right)\,dx'.$

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:

$-(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r}))=f(\vec{r}).$

• При $D$, не зависящем от $\vec{r}$, стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$):

$\Delta c(\vec{r})=-\frac{f(\vec{r})}{D},$

$\Delta c(\vec{r})=0.$

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\infty\leqslant x\leqslant +\infty$ и $t\geqslant t_0$, удовлетворяющее условию $u(x,\;t_0)=\varphi(x)\quad(-\infty<x<+\infty)$, где $\varphi(x)$ — заданная функция.

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\infty\leqslant x\leqslant +\infty$ и $t\geqslant t_0$, удовлетворяющее условиям

$\left\{\begin{array}{l} u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0<x<\infty) \\ u(0,\;t)=\mu(t),\quad(t\geqslant t_0) \end{array}\right.$

где $\varphi(x)$ и $\mu(t)$ — заданнные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0\leqslant x\leqslant l$ и $-\infty<t$, удовлетворяющее условиям

$\left\{\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right.$

где $\mu_1(t)$ и $\mu_2(t)$ — заданнные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

$u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T$ — уравнение теплопроводности.

Если $f(x,\;t)=0$, то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.

$u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l$ — начальное условие в момент времени $t=0$, температура в точке $x$ задается функцией $\varphi(x)$.

$\left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T$ — краевые условия. Функции $\mu_1(t)$ и $\mu_2(t)$ задают значение температуры в граничных точка 0 и $l$ в любой момент времени $t$.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ($\alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2)$).

$\begin{array}{l} \alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}$

Если $\alpha_i=0,\;(i=1,\;2)$, то такое условие называют условием первого рода, если $\beta_i=0,\;(i=1,\;2)$ — второго рода, а если $\alpha_i$ и $\beta_i$ отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция $u(x,\;t)$ в пространстве $D\times[0,\;T],\;D\in\R^n$, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0$, причем $D$ — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,\;t)$ может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.

Примечания

1. ↑ A. Fick, Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem. 170 (4. Reihe 94), 59-86 (1855).