Координаты вектора

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

$\vec{a}=\sum_{i=1}^n a_i \vec{e}_i$

$\vec{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$

где $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

$\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z} \Rightarrow \vec{a} \| \vec{b}$

Подразумевается, что координаты вектора $b$ не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

$|\vec{a}|^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2$

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

$k\vec{a}=\sum_{i=1}^n ka_i\vec{e}_i=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_n)$

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

$\vec{a}+\vec{b}=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)\vec{e}_i=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)$

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^n a_i b_i$

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

где

$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$

$\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

$(\vec a,\vec b,\vec c)=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$

См. также

• Векторное пространство
• Аффинное пространство

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации.