Комплексные сети

Сложные се́ти (англ. complex networks) — это существующие в природе сети (графы) обладающие нетривиальными топологическими свойствами.

Большинство объектов природы и общества имеют бинарные связи, которые можно представить в виде сети, где каждый объект это точка, а его связь с другим объектом это линия или дуга.

Так отношения между людьми в группе (см.социальная сеть (социология)), отношения между фирмами, компьютерные сети, Веб, отношения между генами в ДНК — все это примеры сетей^[1][2] .

Топологические свойства этих сетей (см. топология), рассматриваемые отвлеченно от их физической природы, но существенно определяющие функционирование сетей, и составляют предмет исследования комплексных сетей.

Сложные сети - это относительно новая, бурно развивающаяся междисциплинарная область знаний. Сейчас закладываются ее основные понятия и получены только первые результаты. Работающие в этой области исследователи пришли из математики, компьютерных наук, физики, биологии, социологии, экономики. Соответственно результаты исследований имеют как теоретическое значение, так и практические приложения в этих науках.

Основные характеристики сложных сетей

Ориентированные и неориентированные сети

Каждый узел сети (node) может быть связан с другими узлами определенным числом связей (links). Связи между узлами могут иметь направление. В этом случае сеть называется ориентированной (directed network). Если связь симметрична для обеих связанных ею узлов, то образованная такими связями сеть называется неориентированной сетью (undirected network). Например, Веб это ориентированная сеть, а интернет это неориентированная сеть. Иногда вопрос об ориентированности сети не столь тривиален. Например, отношения между людьми. Если считать что связь существует, если две персоны являются близкими друзьями, то сеть будет неориентированной. Если считать что связь существует, если одна персона считает себя другом другой, то образованная сеть будет ориентированной.

Распределение степеней узлов (Degree distribution of nodes)

Число связей узла будем называть степенью (degree) узла. Для ориентированных сетей различают исходящую и входящую степени узла (out degree и in degree). Распределение степеней узлов является важной характеристикой сложной сети. Большинство сложных сетей имеют близкое к степенному закону распределение степеней узлов с показателем степени между 2 и 3.

Среднее расстояние между узлами

Минимальное число связей, которое необходимо преодолеть, чтобы попасть из узла в узел, называется расстоянием между узлами. Усредненное расстояние между всеми парами узлов сети, для которых существует путь перехода из одного в другой, называется средним расстоянием между узлами $d$. Для большинства комплексных сетей $~d \sim \log(N)$ , где $N$ — количество узлов в сети.

Кластерный коэффициент

Будем называть два узла соседями, если существует связь между ними. Для комплексных сетей характерно, что два узла, соседних к какому-либо узлу, часто также являются соседями между собой. Чтобы охарактеризовать это явление и был предложен кластерный коэффициент $C_i$ узла $i$. Предположим, что узел имеет степень $k_i$ , это значит, что у него $k_i$ соседей и между ними может быть максимум $k_i (k_i-1)/2$ связей. Тогда

$C_i = \frac{2 n_i}{k_i (k_i-1)},$

где $n_i$ число связей между соседями узла $i$. Очевидно, что всегда $0 \leqslant C_i \leqslant 1$. Усредненный кластерный коэффициент узлов, называется кластерным коэффициентом сети. Для большинства сложных сетей он существенно больше, чем кластерный коэффициент случайного графа таких же размеров.

Коэффициент ассортативности (Assortativity Coefficient)

В сети возможна ситуация, когда узлы, имеющие большую степень («звезды»), преимущественно связаны с узлами, имеющими большую степень. Иными словами «звезды» «предпочитают» быть связанными со «звездами». Такие сети называют ассортативными. Возможна также обратная ситуация: «звезды» связаны с другими «звездами» через цепочки узлов, имеющих малое число соседей. Такие сети называют дисассортативными. Чтобы охарактеризовать это свойство пользуются коэффициентом ассортативности $r$, так называется коэффициент корреляции Пирсона между степенью соседних узлов. По определению, $-1 \leqslant r \leqslant 1$. Для ассортативных сетей $r > 0$, для дисассортативных сетей $r < 0$. Сети связанные с общественными явлениями являются ассортативными. Сети связанные с биологическими явлениями чаще дисассортативны. Существуют сети не имеющие выраженной ассортативности с $r$ близким к нулю.

Примечания

1. ↑ Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of Networks: From Biological Networks to the Internet and WWW. — Oxford, USA: Oxford University Press, 2003. — P. 280. — ISBN 978-0198515906
2. ↑ Mark Newman, Albert-Laszlo Barabasi, Duncan J. Watts The Structure and Dynamics of Networks: (Princeton Studies in Complexity). — Princeton, USA: Princeton University Press, 2006. — P. 624. — ISBN 978-0691113579

Ссылки

• Модель Барабаси-Альберта