Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

В численном анализе квадратурная формула Га́усса — Лаге́рра, или метода Гаусса — Лагерра, — это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса. Квадратурная формула Гаусса — Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида:

$\int_{0}^{+\infty} e^{-x} f(x)\,dx.$

рядом по n точкам:

$\int_{0}^{+\infty} e^{-x} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$

где x_i это i-й корень полинома Лагерра L_n(x), а коэффициенты w_i: ^[1]

$w_i = \frac {x_i} {(n+1)^2[L_{n+1}(x_i)]^2}.$

Для функции произвольного вида

Для интеграла произвольный функции можно записать:

$\int_{0}^{\infty}f\left(x\right)dx=\int_{0}^{\infty}f\left(x\right)e^{x}e^{-x}dx=\int_{0}^{\infty}g\left(x\right)e^{-x}dx$

и далее применить квадратурную формулу Гаусса — Лагерра.

Ссылки

1. ↑ Abramowitz, M & Stegun, I A, Handbook of Mathematical Functions, 10th printing with corrections (1972), Dover, ISBN 978-0-486-61272-0. Equation 25.4.45.[access online]