- Арифметическая прогрессия
-
Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида
- ,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Содержание
Свойства
Общий член арифметической прогрессии
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
- , где — первый член прогрессии, — ее разность.
ДоказательствоХарактеристическое свойство арифметической прогрессии
Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .
ДоказательствоСумма первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам
- , где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
- , где — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
ДоказательствоСходимость арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем
ДоказательствоСвязь между арифметической и геометрической прогрессиями
Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .
ДоказательствоАрифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
- 1, 3, 5, 7, 9, 11…
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Примеры
- Натуральный ряд — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность .
- — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
- Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
- Сумма первых натуральных чисел выражается формулой
- .
См. также
Ссылки
- Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Категория:- Арифметика
Wikimedia Foundation. 2010.