Резольвента интегрального уравнения

У этого термина существуют и другие значения, см. Резольвента.

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

$f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)$

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция $\Gamma(s,\;t,\;\lambda)$ переменных $s$, $t$ и параметра $\lambda$, что решение уравнения (*) представляется в виде:

$u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.$

При этом $\lambda$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример

Пусть уравнение (*) имеет ядро $K(s,\;t)=s+t$, то есть само уравнение имеет вид:

$\varphi(s)+\lambda\int\limits_a^b(s+t)\varphi(t)\,dt=f(s).$

Тогда его резольвентой является функция

$\Gamma(s,\;t,\;\lambda)=\frac{s+t-\lambda\left(\dfrac{s+t}{2}-st-\dfrac{1}{3}\right)}{1-\lambda-\dfrac{\lambda^2}{12}}.$

Резольвента линейного оператора

Пусть $\,\! A$ — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция^[1]

$\,\! R(z) = (A - zE)^{-1}$,

где $E$ — тождественный оператор, а $z$ — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что $R(z)$ есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Примечания

1. ↑ Операторнозначная функция — функция, значением которой является оператор.

См. также

• Спектр оператора

Ссылки

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.