Аффинно-квадратичная функция

Аффинно-квадратичная функция

Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q-квадратичная функция, l-линейная функция, с-константа.

Перенос начала отсчета

Пусть g симметрическая билинейная функция соответствующая квадратичной функции q. при переносе начала отсчета о в точку о'=о+а(а из V) формула изменяется следующим образом: q'(x)=q(x), l'(x)=2g(a,x)+l(x), c'=q(a)+l(a)+с Доказательство Q(о'+x)=Q(о+а+x)=q(а+x)+l(а+x)+c=q(а)+2g(a,x)+q(x)+l(а)+l(x)+c=q(x)+(2g(a,x)+l(x))+(q(а)+l(а)+c). Следовательно q не зависит от выбора начала отсчета.

Выражение в координатах

Q(x) =	∑	aijxixj +	∑	bixi + c
	i,j		i

,где(a_ij=a_ij) с=Q(o), b_i=$\frac{\partial Q}{\partial x_i}$(o)

Центр аффинно-квадратичной функции

Точка о называется центром аффинно-квадратичной функции Q, если Q(o+x)=Q(o-x) для любого x. Это имеет место тогда и только тогда, когда

∑	bixi
i

(дифференциал Q) равен 0. следовательно множество всех центров задается системой уравнений $\frac{\partial Q}{\partial x_1}=\frac{\partial Q}{\partial x_2}=...\frac{\partial Q}{\partial x_n}=0$ Это либо плоскость, либо пустое множество. Матрица коэфициентов этой системы это удвоенная матрица квадратичной функции q. Значит если q невырожденна, то Q имеет единственный центр.

Квадрики

Множество вида X(Q)={p: Q(p)=0}, где Q-аффинно-квадратичная функция(если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка. Квадрика на плоскости называется коникой или плоскостью второго порядка, в трехмерном пространстве поверхностью второго порядка.

Точка о называется центром квадрики, если квадрика симметрична относительно нее.

Связать^?