Атомарная функция

Атомарная функция^[1] — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

$Ly(x)=\sum_{k=1}^{M}{c_{k}y(ax-b_{k})},$

где $L\;$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты $a, b_{k}, c_{k} \in \mathbb{R}$, причём $|a|\;>\;1$.

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция $\mathrm{up}(x)\;$ является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

$\frac{1}{2}y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)\;$

с носителем $\mathrm{supp}\;\mathrm{up}(x)=(-1,1).$

Атомарная функция $\mathrm{up}(x)$ и ее производная.

Преобразование Фурье $\mathrm{up}(x)\;$ имеет вид

$\hat{\mathrm{up}}(t)=\prod_{k=1}^{\infty}\mathrm{sinc}{\frac{t}{2^k}},$

где $\mathrm{sinc}=\sin{x}/x\;$ — sinc-функция.

Функция $\mathrm{up}(x)\;$ — чётная, возрастает на интервале $[-1,\;0]$, убывает на интервале $[0,\;1]$ и ограничивает единичную площадь. Кроме того, $\mathrm{up}(1-x)=1-\mathrm{up}(x)\;$ при $x\in\;[0,1]$. Таким образом, целочисленные сдвиги $\mathrm{up}(x)\;$ образуют следующее разбиение единицы:

$\sum_{j=-\infty}^{\infty}{\mathrm{up}(x-j)}\equiv 1.$

Значения $\mathrm{up}(x)\;$ в двоично-рациональных точках вида $2^{-n}k\;$ — рациональные числа. Функция $\mathrm{up}(x)\;$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для ее вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, а существуют быстросходящиеся ряды специального вида. Используются также разложения $\mathrm{up}(x)\;$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции $\mathrm{up}(x)\;$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий $\mathrm{up}(x)\;$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h_a(x), совершенные сплайны

Атомарные функции $\mathrm{h}_a(x)\;$ (при $a>1\;$) являются обобщением функции $\mathrm{up}(x)\;$. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид:

$\frac{2}{a^2}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).\;$

Таким образом, $\mathrm{up}(x)\;\equiv\;\mathrm{h}_2(x).$ Преобразование Фурье $\mathrm{h}_a(x)\;$ имеет вид

$\hat{\mathrm{h}_a}(t)=\prod_{n=1}^{\infty}\mathrm{sinc}{\frac{t}{a^n}},$

следовательно, функции $\mathrm{h}_a(x)\;$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов $M\;$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов $\mathrm{h}_{a,M}(x)\;$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

$\frac{2}{a^2}\mathrm{h}'_{a,M} (x)=\mathrm{h}_{a,M-1}(ax+1)-\mathrm{h}_{a,M-1}(ax-1).\;$

Обобщенная теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций $\mathrm{h}_a(x)\;$ расположены регулярным образом в точках $a\pi n\;$ $(n\neq 0)$. В связи с этим любую непрерывную функцию $f(x)\;$ с финитным спектром $(\mathrm{supp}\hat{f}=[-\Omega,\Omega])$ можно разложить в ряд

$f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f(k\Delta)\hat{\mathrm{h}_a}\left[\frac{a\pi}{\Delta}(x-k\Delta)\right]},$

где $a>2,\;0<\Delta\leq\pi(a-2)/\Omega(a-1).$

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова, и была предложена Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом^[2].

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе^[3]. Обстоятельства появления функции $\mathrm{up}(x)\;$ связаны с проблемой, поставленной В. Л. Рвачёвым и решенной В. А. Рвачёвым: найти финитную дифференцируемую функцию, имеющую колоколообразный вид, такую, что ее производная будет составлена, в свою очередь, из двух колоколообразных функций, каждая из которых представляет собой сдвинутую и сжатую копию исходной функции с точностью до масштабного коэффициента.

Обзор ранних работ по теории атомарных функций приведен в^[4]. В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы^{[5][6][7][8][9]}.

Примечания

1. ↑ Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979.
2. ↑ Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций и ее применение в задачах синтеза антенн // Радиотехника и электроника, 2002, т. 47, № 4, с. 461—468.
3. ↑ Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А. Об одной финитной функции // ДАН УССР, сер. А., 1971, с. 705—707.
4. ↑ Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. Глава 2. — Киев: Наукова думка, 1986. С. 45—65.
5. ↑ Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003.
6. ↑ Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера—Котельникова—Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.
7. ↑ Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
8. ↑ Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
9. ↑ Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова