- Точка округления
-
Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика; название «омбилика» происходит от лат. «umbilicus» ― «пуп») ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.
Содержание
Свойства
В точке округления:
- главные кривизны поверхности и совпадают.
- любая точка округления является эллиптической точкой поверхности , либо является так называемой плоской омбиликой . Символы и означают гауссову и среднюю кривизну поверхности, соответственно.
- первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны.
- любое касательное направление является главным направлением.
- соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения.
- индикатриса Дюпена является окружностью.
- сеть линий кривизны (т.е. линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность.
Примеры
В евклидовом пространстве с метрикой :
- Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
- Трёхосный эллипсоид с попарно различными осями имеет ровно 4 точки округления, все они являются эллиптическими.
- Плоскость целиком состоит из плоских омбилик.
- Обезьянье седло имеет изолированную точку округления с нулевой гауссовой кривизной в начале координат.
Обобщение
Пусть ― гладкое многообразие произвольной размерности в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке определены собственных значений пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении . Точка называется омбиликой, если в ней набор содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик точек имеет коразмерность 2, т.е. задается на двумя независимыми уравнениями.[2] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ().
Литература
- Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
- Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
- Фиников С.П. Теория поверхностей, — Любое издание.
- Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
- Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.
Примечания
- ↑ Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131–170.
- ↑ Арнольд В.И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).
Категория:- Дифференциальная геометрия поверхностей
Wikimedia Foundation. 2010.