Метод Гаусса

У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация).

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

История

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

$\left\{\begin{array}{lcr} a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\ \ldots & & \\ a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m \\ \end{array}\right.\iff Ax = b,\quad A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right),\quad x = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \quad b = \left( \begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right).\quad (1)$

Матрица $A$ называется основной матрицей системы, $b$ — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

$\left\{\begin{array}{rcl} \alpha_{1j_1}x_{j_1}+\alpha_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{1j_n}x_{j_n} &=& \beta_1 \\ \alpha_{2j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{2j_n}x_{j_n} &=& \beta_2 \\ &\ldots& \\ \alpha_{rj_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{rj_n}x_{j_n} &=& \beta_r \\ 0 &=& \beta_{r+1} \\ &\ldots& \\ 0 &=& \beta_m \end{array}\right.,\qquad \alpha_{1j_1},\ldots,\alpha_{rj_r}\neq 0.$

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных $x_{j_1},\ldots,x_{j_r}\!$^[3].

Тогда переменные $x_{j_1},\ldots,x_{j_r}\!$ называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число $\beta_i\neq 0\!$, где $i > r$, то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть $\beta_i = 0\!$ для любых $i > r$.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом $x\!$ ($\alpha_{ij_i},\, i=1,\ldots,r\!$, где $i\!$ — номер строки):

$\left\{\begin{array}{rcc} x_{j_1}+\widehat{\alpha}_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{1j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_1-\widehat{\alpha}_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{1j_n}x_{j_n} \\ x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{2j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_2-\widehat{\alpha}_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{2j_n}x_{j_n} \\ &\ldots& \\ x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_r-\widehat{\alpha}_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{rj_n}x_{j_n} \\ \end{array}\right., \qquad \widehat{\beta}_i=\frac{\beta_i}{\alpha_{ij_i}},\quad \widehat{\alpha}_{ij_k}=\frac{\alpha_{ij_k}}{\alpha_{ij_i}}\quad (2)$,
где $i=1,\ldots,r,\quad k=i+1,\ldots,n.\!$

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности

Упомянутое выше условие $\beta_i= 0\!$ для всех $i > r\!$ может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Теорема Кронекера — Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия: Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует порядка $O(n^{3})$ действий.

Этот метод опирается на:

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

Простейший случай

В простейшем случае алгоритм выглядит так:
$\left\{\begin{array}{lcc} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n} \cdot x_n & = b_1 & (1) \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots + a_{2n} \cdot x_n & = b_2 & (2) \\ \ldots & & \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn} \cdot x_n & = b_m & (m) \end{array}\right.$

• Прямой ход:

$\begin{array}{ccc} (2)\to (2)-(1) \cdot ( \frac {a_{21}}{a_{11}}) &:& a_{22}^{\prime} \cdot x_2 + a_{23}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{2n}^{\prime} \cdot x_n = b_2^{\prime} \\ (3)\to (3)-(1) \cdot ( \frac {a_{31}}{a_{11}}) &:& a_{32}^{\prime} \cdot x_2 + a_{33}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime} \\ \ldots & & \\ (m)\to (m)-(1) \cdot ( \frac {a_{m1}}{a_{11}}) &:& a_{m2}^{\prime} \cdot x_2 + a_{m3}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{mn}^{\prime} \cdot x_n = b_n^{\prime} \\ (3)\to (3)-(2) \cdot ( \frac {a_{32}^{\prime}}{a_{22}^{\prime}}) &:& a_{33}^{\prime\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime\prime} \\ \ldots & & \\ (m)\to (m)-(m-1) \cdot ( \frac {a_{m,n-1}^{(m-2)}}{a_{m-1,n-1}^{(m-2)}}) &:& a_{mm}^{(m-1)} \cdot x_m + \ldots + a_{mn}^{(m-1)} \cdot x_n = b_m^{(m-1)} \end{array}$

• Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

$\left\{\begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \\ -3x - y + 2z &=& -11 \\ -2x + y + 2z &=& -3 \end{array}\right.$

Обнулим коэффициенты при $x\!$ во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на $\textstyle-\frac{3}{2}\!$ и $-1\!$, соответственно:

$\left\{\begin{array}{rcc} 2x + y - z &=& 8 \\ \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z &=& 1 \\ 2y + z &=& 5 \end{array}\right.$

Теперь обнулим коэффициент при $y\!$ в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на $4\!$:

$\left\{\begin{array}{rcc} 2x + y - z &=& 4 \\ \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z &=& 1 \\ -z &=& 1 \\ \end{array}\right.$

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

$z = -1\!$ из третьего;

$y = 3\!$ из второго, подставив полученное $z\!$

$x = 2\!$ из первого, подставив полученные $z\!$ и $y\!$.

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Применение и модификации

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

• нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: $[A|E]\!$, после чего $A\!$ приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: $[E|A^{-1}]\!$);
• определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера—Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
• численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

Достоинства метода

• Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
• Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
• Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы^[4].

См. также

Линейная алгебра

• Метод Гаусса—Жордана
• Метод Крамера
• Система линейных алгебраических уравнений
• Теорема Кронекера—Капелли
• Фундаментальная система решений
• Элементарные преобразования матрицы

Методы оптимизации

• Метод Гаусса (оптимизация)
• Метод покоординатного спуска (Гаусса—Зейделя)

Численные методы

• Метод Гаусса—Зейделя
• Метод Якоби

Примечания

1. ↑ Гаусс, Карл Фридрих (1777—1855) — немецкий математик, физик и астроном
2. ↑ Н. Ш. Кремер, 2.3. «Метод Гаусса», стр. 44
3. ↑ Такого расположения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных.
4. ↑ Н. Ш. Кремер, 2.4. «Система m линейных уравнений с n переменными», стр. 49

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
• Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
• Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
• Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с. — ISBN 5-238-00991-7