Эйнштейновское правило суммирования

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

$v_k= a_ib^i_k$

буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

$v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.$

Обычно это означает:

$v_k=\sum_{i=1}^D a_ib^i_k,$

где D — размерность пространства, на котором определены a и b, если, конечно, нумерация координат начинается с единицы.

Замечание

В некоторых случаях^[1] (если метрический тензор полагается всегда равным δ_ik) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в $\R^3$

$D_{\alpha\beta}n_\alpha = \sum_{\alpha=1}^{3} D_{\alpha\beta}n_\alpha$

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать $D^{\alpha}_{\beta}n^\beta$.

Примечания

1. ↑ Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. - М.: Наука, 1987.