Численная устойчивость

Определение

В вычислительной математике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется вычислительно неустойчивой, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Это отдалённо напоминает непрерывное отображение.

Вычислительная устойчивость, например, решения системы уравнения, можно определить следующим образом: допустим мы решили систему уравнения относительно x₁,...,x_n, то есть нашли решение P(x₁,...,x_n). Если мы чуть-чуть поменяем значения на x₁',...,x_n', то новое решение P'(x₁',...,x_n') будет в каком-то смысле близким к решению P(x₁,...,x_n).

Пример 1: cистема уравнений

Дана система двух линейных уравнений: $\left\{\begin{matrix}u + 10v = 11, \\ 100u + 1001v = 1101. \end{matrix}\right.\,\!$

Решением является пара чисел $\left\{ {1;1} \right\}. \,\!$

«Возмутим» правую часть первого уравнения на 0,01 (вместо 11 напишем 11,01) и получим новую, «возмущённую» систему, решением которой является пара чисел {11,01; 0,00}, не имеющая ничего общего с решением невозмущённой системы. Здесь изменение значения одного параметра на $0,1\% \,\!$ привело к совсем другому решению.

См. также

• Плавающая запятая
• Фиксированная запятая
• Число обусловленности