Формулировка через интеграл по траекториям

Формулировка через интеграл по траеториям квантовой механики — это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое обозначение одиночной, уникальной траектории для системы суммой, или функциональным интегралом, над бесконечным множеством возможных траекторий для расчета квантовой амплитуды.

Формулировка через интеграл по траекториям была развита в 1948 году Ричардом Фейнманом. Некоторые предварительные моменты были разработаны ранее во время его докторской работы с Джоном Арчибальдом Уиллером.

Эта формулировка была ключевой для последующего развития теоретической физики, так как она явно симметрична во времени и пространстве. Не похожий на предыдущие методы, интеграл по траекториям позволяет физику легко изменять координаты между очень разными каноническими описаниями одной и той же квантовой системы.

Интеграл по траекториям также относится к квантовым и стохастическим процессам, и это обеспечило базис для великого синтеза 1970-ых, которое объединило квантовую теорию поля со статистической теорией поля флуктуирующего поля рядом с фазовым превращением второго рода. Уравнение Шредингера является диффузным уравнением с мнимой диффузионной константой, и интеграл по траекториям — это аналитическое продолжение метода суммирования всех возможных вероятных путей. По этой причине интегралы по траекториям были использованы для изучения Броуновского движения и диффузии немного ранее, чем они были представлены в квантовую механику.1

Недавно интегралы по траекториям были расширены с путей Броуна на полеты Леви. Формулировка через интегралы по траекториям Леви ведет к дробной квантовой механике и дробному расширению уравнения Шредингера. 2

Квантовый принцип действия

В традиционной квантовой механике Гамильтониан представляет собой бесконечно малый генератор временных трансляций. Это означает, что состояние через несколько прошедшее время относится к состоянию в данный момент времени через действие оператора Гамильтона (умноженного на -i). Для состояний с определенной энергией, это отношение Де Бройля между частотой и энергией, и общее отношение согласуется с ним плюс принцип суперпозиции.

Но Гамальтониан в классической механике выводится из Лагранжиана, который является более фундаментальной величиной, если учитывать специальную относительность. Гамильтониан говорит вам как двигаться вперед во времени, но обозначение времени отличается в различных системах отсчета. Таким образом, Гамильтониан разный в разных системах, и этот тип симметрии не очевиден в начальной формулировке квантовой механики.

Гамильтониан является функцией координат и момента времени, и он говорит вам координаты и момент немного позднее. Лагранжиан - это функция координат в данный момент и координат немного позднее(или, эквивалентно для бесконечно малых промежутков времени, это есть функция координат и скорости). Отношение между двумя преобразованием Лежандра, и условие, которое определяет классические уравнения заключается в том, чтобы действие было минимальным.

In quantum mechanics, the Legendre transform is hard to interpret, because the motion is not over a definite trajectory. So what does the Legendre transform mean? In classical mechanics, with discretization in time, В квантовой механике, преобразование Лежандра трудно интерпретировать, так как движение происходит не по определенной траектории. Таким образом, что же означает преобразование Лежандра? В классической механике, с дискретизацией во времени,

$\epsilon H = p (q(t+\epsilon) - q(t)) - \epsilon L \,$

и

$p = {\partial L \over \partial \dot{q} } \,$

где частная производная по q держит q(t + ε) фиксированным. Обратное преобразование Лежандра:

$\epsilon L = p \epsilon \dot{q} - \epsilon H \,$

где

$\dot q = {\partial H \over \partial p} \,$

and the partial derivative now is with respect to p at fixed q. и частная производная теперь по p при фиксированном q

В квантовой механике, состояние является суперпозицией разных состояний с разными значениями q, или разными значениями p, и величины p и q могут быть интерпретированы как некоммутирующие опрераторы. Оператор p определен только на состояниях, которые неопределены по отношению к q. Тогда представим два состояния отделенных во времени и подействуем оператором соотвествующим Лагранжиану: $e^{-i( p (q(t+\epsilon) - q(t)) - \epsilon H(p,q) )}\,$

Если умножения, подразумеваемые в этой формуле реинтерпретировать как умножения матриц, что это означает?

Это может приобрести значение следующим образом: Первый фактор это

$e^{-ip q(t)} \,$

Если это интерпретировать как матричное умножение, сумма по всем состояниям интегрирует по всем q(t), и таким образом Фурье преобразование в q(t) базис изменяется на p(t). Это действие в Гильбертовом пространстве --- измение базиса на p во времени t.

Получается следующее:

$e^{-i\epsilon H(p,q)} \,$

или продолжение бесконечно малого времени в будущее.

В итоге, последний фактор в этой интерпретации - это

$e^{i p q(t+\epsilon)} \,$

который означает изменение базиса назад на q в следующее время.

Это не сильно отличается от обычной эволюции во времени: фактор H содержит всю динамическую информацию --- он толкает состояние вперед во времени. Первая часть и последняя часть совершают Фурье преобразования чтобы изменить в чистый q базис с промежуточного p базиса.

Другой путь сказать это - Гамильтониан обычно функция p и q, экспонируя эту величину и изменяя базис с p на q в каждый шаг позволяет матричным элементам H быть выраженными как простая функция вдоль каждой части. Эта функция является квантовым аналогом классического действия. Это наблюдение благодаря Полю Дираку.

Дирак позднее заметил что можно взять квадрат оператора эволюции во времени в S представлении

$e^{i\epsilon S} \,$

и это дает оператор эволюции во времени между временем t и временем t + 2ε. В то время как в H представлении величина которая суммируется по промежуточным состояниям является неочевидным матричным элементом, n S-представление переинтерпретируется как величина ассоциированная с путем. В пределе когда кто-то берет большую степень этого оператора, он реконструирует полную квантовую эволюцию между двумя состояниями, ранний с фиксированным значением q(0) и поздний с фиксированным значением q(t). Результат является суммой по путям с фазой, которая квантовое действие.

Интерпретация Фейнмана

Работа Дирака не обеспечила точное руководство для расчета сум по путям, и она не показала как один мог бы получить обратно уравнение Шредингера или канонические коммутационные соотношения из этого правила. Это было сделано Фейнманом. 3

Фейнман показал что квант действия Дирака был, в большинстве интересных случаев, просто равен классическому действию, соответственно дискретизированному. Это означает что классическое действие является фазой полученной квантовой эволюцией между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил вывести всю квантовую механику из следующих постулатов:

1. Вероятность события получается как квадрат длины комплексного числа называемого "амплитудой"

2. Амплитуда получается сложением вместе вкладов всех историй в конфигурационном пространстве

3. Вклад истории в амплитуду пропорционален $e^{i S/\hbar}$, где $\hbar$ усеченная постоянная Планка, и может быть положена равной единице выбором единиц, тогда как S - действие той истории, даваемой временным интегралом Лагранжиана вдоль соответствующего пути

Для того чтобы найти полную вероятность амплитуды для данного процесса нужно просуммировать или проинтегрировать амплитуду 3 постулата в пространстве всех возможных историй системы между начальным и конечным состояниями, включая истории которые абсурдны по классическим стандартам. В расчете амплитуды одиночной частицы которая движется из одного места в другое за заданное время было бы корректным включить истории в которых частица описывает законченный причудливый узор, истории в которых частица вылетает во внешнее пространство и летит обратно и так далее. Интеграл по траекториям назначает все эти амплитуды историй равными величинами, но различающейся фазой или аргументом комплексного числа. Вклады которые существенно отличаются от классической истории подавляются только интерференцией схожих, отменяющих историй(смотрите ниже).

Фейнман показал, что эта формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике, когда Гамильтониан квадратичен в моменте. Амплитуда, вычисленная согласно Фейнмановским принципам также будет подходить под уравнение Шредингера для Гамильтониана соответствующего данному действию.

Классические принципы действия приводят в затруднение из-за своего кажущегося по внешнему виду качества: вместо того, чтобы предсказывать будущее от начальных условий, они дают комбинацию начальных условий и конечных условий, чтобы найти путь между ними, как если бы система каким-то образом знала где она должна закончиться. Интеграл по траекториям объясняет почему это работает в терминах квантовой суперпозиции. Система не обязана знать заранее куда она движется; интеграл по траекториям просто вычисляет амплитуду вероятности для любого данного процесса, и траектория идет во все места. Спустя через достоточно долгое время, эффекты интерференции гарантируют что только вклады от стационарных точек действия дают истории со значимыми вероятностями.

Точная формулировка

Постулаты Фейнмана могут быть интерпретированы следующим образом:

Определение через срезы времени

Для частицы в гладком потенциале, интеграл по траекториям приближают зигзагообразными путями, которые в одном измерении являются продуктом обычных интегралов. Для движения частицы из положения xa во время ta в xb во время tb, временная цепь ta < t1 < ... < tn − 1 < tn < tb может быть разделена на n малых сегментов $t_j-t_{j-1},\,\, j=1,..., n\,,$ фиксированной продолжительности $\Delta t\,\,(=\epsilon )=\frac{t_b-t_a}{n+1}$. (Одним оставшимся сегментом можно пренебречь, так как в конечном счете рассматривается предел $n\to\infty$)

Этот процесс называется разрезанием времени. Приближение для интеграла по траекториям может быть вычислено пропорционально

$\int\limits_{x_1=x_a}^{x_1=x_b} \ldots \int\limits_{x_n=x_a}^{x_n=x_b} \ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} \mathcal L(x(t),v(t), t)\,\mathrm{d}t\right) \, \mathrm{d}x_n \cdots \mathrm{d}x_{1}$

где $\mathcal L(x,v,t)$ Лагранжиан 1d-системы с положением переменной x(t) и рассматриваемой скоростью $v=\dot x(t)$ (см. ниже), и dxj соответствует положение в j-ом временном шаге, если временной интеграл приближать суммой n термов.

(Для упрощенного, пошагового, вывода вышестоящего соотношения посмотрите интегралы по траекториям в квантовой теории: педагогические pdf версы для первого шага)

В пределе n стремящемся к бесконечности, это становится функциональным интегралом, который - вдали от несущественного фактора - является прямым произведением вероятности амплитуд $\langle x_a,t_a|x_b, t_b\rangle$ - более точно, так как требуется работать с непрерывным спектром, соответствующие плотности - найти квантовую механическую чатицу в ta в начальном состоянии xa и в tb в конечном состоянии xb.

В действительности $\mathcal L$ - классический Лагранжиан рассматриваемой одномерной системы,$\mathcal L(x,\dot x , t)=p\cdot \dot x -\mathcal H(x,p,t)$, где $\mathcal H$ - Гамильтониан с $p=\frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot x}$,

и вышеупомянутое "зигзагирование" соответствует появлению членом $\exp\left (\frac{{\rm i}}{\hbar}\epsilon\, \,\sum_{j=1}^{n}\mathcal L(\tilde x_{j},\frac{x_j-x_{j-1}}{\epsilon},j)\right )$

в Римановой сумме, приближающей временной интеграл, которые в конечном итоге интегрируются от x1 до xn с интегральным измерением ${\rm d}x_1\cdot ...\cdot {\rm d}x_n\,.\,\,\tilde x_j$

является произвольным значением интервала, соответствующего j, например его центр, $\frac{x_j+x_{j-1}}{2}\,$

Таким образом в контраст классической механике не только стационарный путь дает вклад но фактически все виртуальные пути между начальной и конечной точками.

Время-разрезанное приближение Фейнмана, однако, не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям атомов, благодаря сингулярности потенциала Кулона $e^2/r \,$, в начале. Только после замены времени t на другой зависящий от пути псевдовременной параметр $s=\int dt/r(t),$ сингулярность устраняется и время-разрезанное приближение существует, которое точно интегрируемо, так как оно может быть сделано гармоничным с помощью простой трансформации времени, как было открыто в 1979 H. Duru и Hagen Kleinert 45. Комбинация зависящего от траектории временной трансформации и координатной трансформации важный инструмент для решения многих интегралов по траекториям и называется обобщенно (преобразование Duru-Kleinert).

Свободная Частица

В представлении интеграла по траекториям квантовая амплитуда движется от точки x к точке y как интеграл по всем траекториям. Для свободной частицы действие $(\scriptstyle m=1,\ \hbar=1)$ :

$S= \int {\dot{x}^2\over 2} dt \,$

интеграл может быть найден явно.

Чтобы сделать это, концептуально удобно начать без множителя i в экспоненте, так что большие отклонения компенсируются малыми числами, не отменой колеблющихся вкладов.

$K(x-y;T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} e^{-\int_0^T {\dot{x}^2\over 2} dt} Dx \,$

Разбивая интеграла на части:

$K(x,y;T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} \Pi_t e^{-{1\over 2} ({x(t+\epsilon) -x(t) \over \epsilon})^2 \epsilon } Dx \,$

где Dx интерпретируется как конечная коллекция интегрирований на каждом целом множителе ε. Каждый множитель в произведении является Гауссианом как функцией от x(t + ε) центрированной в x(t) с вариацией ε. Множественные интегралы - это повторяющиеся искривления этого Гауссиана Gε с копиями самого себя в смежные времена.

$K(x-y;T) = G_\epsilon*G_\epsilon ... *G_\epsilon \,$

Где число искривлений равно T / ε. Результат легко получить взяв Фурье преобразование обеих сторон, так что искривления становятся умножениями.

$\tilde{K}(p;T) = \tilde{G}_\epsilon(p)^{T \over \epsilon} \,$

Фурье преобразование Гауссиана G является другим Гауссианом обратной вариации:

$\tilde{G}_\epsilon(p) = e^{-\epsilon {p^2\over 2} } \,$

и результат:

$\tilde{K}(p;T) = e^{-T {p^2 \over 2}} \,$

Фурье преобразование дает К, и это снова Гауссиан с обратной вариацией:

$K(x-y;T) \propto e^{ -(x-y)^2\over 2T} \,$

Постоянная пропорциональности на самом деле не определена подходом разбиения времени, лишь отношение значений разных конечных выборов определено. Константа пропорциональности должна быть выбрана чтобы убедиться что между каждой из двух временных разбиений эволюция во времени унитарна квантово-механически, но более разъясняющий путь исправить нормировку - предположить интеграл по траекториям как описание стохастического процесса.

Результат имеет вероятностную интерпретацию. Сумма по всем траекториям экспоненциального множителя может быть представлена как сумма по всем траекториям вероятности выбора данной траектории. Вероятность - это произведение по каждому сегменту вероятности выбора данного сегмента, так что каждый сегмент вероятностным образом независимо выбирается. Факт того, что ответ - Гауссиан, распространяющийся линейно во времени - центральная предельная теорема, которая может быть интерпретирована как первый исторической вывод статистического интеграла по траекториям.

Вероятностная интерпретация дает естесственный выбор нормировки. Интеграл по траекториям следует определять так, что:

$\int K(x-y;T) dy = 1 \,$

Это условие нормирует Гауссиан и образует ядро которое удовлетворяет уравнению диффузии:

${d\over dt} K(x;T) = {\nabla^2 \over 2} K \,$

Для колеблющихся интегралов по траекториям, тех что с i в числителе, разбиение по времени образует искривляющиеся Гауссианы, так как раньше. Теперь, однако, продукт искривления в самой малой степени сингулярен так как он нуждается в осторожных лимитах для определения осциллирующих интегралов. Чтобы сделать факторы хорошо определенными, наилегчайший путь заключается в том, чтобы прибавить маленькую мнимую часть к временному слагаемому ε. Тогда тот же искривляющий аргумент как раньше дает ядро распространения:

$K(x-y;T) \propto e^{i(x-y)^2 \over 2T} \,$

Которое, с той же нормировкой что и раньше (не сумма-квадрат нормировкой! эта функция имеет расходящуюся норму), удовлетворяет свободному уравнению Шредингера

${d\over dt} K(x;T) = {\rm i} {\nabla^2 \over 2} K \,$

Это означает, что любая суперпозиция К также будет удовлетворять тому же уравнению, линейно. Определяя

$\psi_t(y) = \int \psi_0(x) K(x-y;t) dx = \int \psi_0(x) \int_{x(0)=x}^{x(t)=y} e^{iS} Dx \,$

тогда ψt удовлетворяет свободному уравнению Шредингера, также как К:

${\rm i}{\partial \over \partial t} \psi_t = - {\nabla^2\over 2} \psi_t \,$