- Дифференциальное исчисление
-
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.
Содержание
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная
Пусть функция
определена в окрестности
и для любого
> 0 найдётся такое
, что
, лишь только
тогда говорят, что
— бесконечно малое порядка
.
Пусть
— вещественнозначная функция, заданная на отрезке
. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале
, если
для любого
и любого
. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке
функции образуют кольцо гладких функций
.
Коэффициенты
Эти функции называют производными функции
. Первая производная может быть вычислена как предел
.
Оператор, сопоставляющий функции
её производную
обозначают как
При этом для двух гладких функций f и g верно
и
Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.
Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке
, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.
Касательная прямая
пересекает кривую
в точке
таким образом, что знак выражения
при условии
всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая
лежит по одну сторону от прямой
Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке
(по Б. Кавальери). Точку
, в которой кривая
не лежит по одну сторону от прямой
называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.
Точки экстремума
Точка
называется точкой локального максимума (минимума), если
для всех достаточно малых по модулю
. Из соотношения
сразу видно, что
— необходимое условие максимума, а
— достаточное условие максимума. Условие
выделяет точки максимума, минимума и перегиба.
Непрерывные функции
Пусть
определена и на концах интервала
; говорят, что она непрерывна на
, если для любого
найдётся такое
, что
, лишь только
и точки
не выходят за границы интервала
. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале
функции образуют кольцо непрерывных функций
.
Основные теоремы дифференциального исчисления
Кольцо непрерывных на
и гладких на
функций обладает рядом важных свойств:
- Теорема Ролля: если
, то имеется точка
максимума или минимума, в которой
обращается в нуль.
- Теорема Лагранжа: существует такая точка
, что
- Теорема Коши: если
на
, то существует такая точка
, что
Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке
найдутся такие точки
, что
где
При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке
по известным значениям функции и её производных в точке
.
Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если
или
, и
на
, то
причём существование второго предела влечёт существование первого.
См. также
- Исчисление
- Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
Литература
- Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
- Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 г.
Категории:- Математический анализ
- Дифференциальное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.