Тэта функция

Тэта функция

Тэта-функции  — специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции. Основные четыре Тэта-функции определяются следующими быстро сходящимися рядами:


 \theta_1(z,q)=2q^{1/4} \sin z \ - \ 2q^{9/4}\sin3z \ + \ 2q^{25/4}\sin5z \ + \ \ldots,

 \theta_2(z,q)=2q^{1/4} \cos z \ + \ 2q^{9/4}\cos3z \ + \ 2q^{25/4}\cos5z \ + \ \ldots,

 \theta_3(z,q)=1 \ + \ 2q\cos 2z \ + \ 2q^4\cos4z \ + \ 2q^9\cos6z \ + \ \ldots,

 \theta_4(z,q)=1 \ - \ 2q\cos 2z \ + \ 2q^4\cos4z \ - \ 2q^9\cos6z \ + \ \ldots, где |q| \ < \ 1.


При добавлении \ \pi к аргументу z\ эти функции приобретают соответственно множители −1, −1, 1, 1, а при добавлении \ \pi \tau , где \ \tau связано с \ q соотношением \ q=e^{\pi \iota \tau} , множители -N, \ N, \ N, \ -N \ (N=q^{-1}e^{-2\iota k}. Отсюда следует, что, например, отношение \vartheta_1(z)/ \vartheta_4(z) представляет мероморфную функцию, не изменяющуюся при добавлении к аргументу \ 2\pi или \ \pi \tau , то есть эллиптическую функцию с периодами \ 2\pi или \ \pi \tau .


Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Тэта-функции, построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций.

Литература

  • Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Тэта функция" в других словарях:

  • тэта-функция — тэта/ функци/я [й/а] …   Морфемно-орфографический словарь

  • Тэта-функции —         целые функции (См. Целая функция), отношения которых представляют Эллиптические функции. Основные четыре Т. ф. определяются следующими быстро сходящимися рядами:          θ1(z) = 2q 1/4sin z 2q 9/4 sin 3z + 2q 25/4 sin 5z +...,          θ …   Большая советская энциклопедия

  • θ-функция — Тэта функции   специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции. Основные четыре Тэта функции определяются следующими быстро сходящимися рядами …   Википедия

  • Θ-функция — Тэта функции   специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции. Основные четыре Тэта функции определяются следующими быстро сходящимися рядами …   Википедия

  • Эллиптические функции Якоби — Эллиптические функции Якоби  это набор основных эллиптических функций комплексного переменного, и вспомогательных тэта функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют… …   Википедия

  • Сигма-функции —         целые Трансцендентные функции, введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырёх С. ф. является функция                   где ω = 2mω1 + 2nω2, ω1 и ω2 два числа, отношение которых не… …   Большая советская энциклопедия

  • Фурье преобразование — (данной функции)         функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой:                   Если функция f (x) чётная, то её ф. п. равно                  (косинус преобразование), а если f (x) нечётная функция, то         … …   Большая советская энциклопедия

  • Список математических функций — Эта страница информационный список. В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций …   Википедия

  • Эллиптические функции —         функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.          Подобно тому… …   Большая советская энциклопедия

  • МОДУЛЯРНАЯ ФОРМА — одного комплексного переменного, эллиптическая модулярная форм а, функция на верхней полуплоскости , удовлетворяющая при нек ром фиксированном кусловию автоморфности: для любого элемента группы целочисленных матриц с определителем , и такая, что… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»