Равнопеременное движение

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли. На рисунке видно, что перемещение складывается из прямолинейного равномерного движения и свободного падения

В общем случае равноускоренным движением называется движение, при котором вектор ускорения $\vec a = const$. Напомним, что это означает постоянство как по модулю, так и по направлению.

Примером такого движения является движение тела, брошенного под углом α к горизонту в однородном поле силы тяжести — тело движется с постоянным ускорением $\vec a = \vec g$, направленным вертикально вниз.

При равноускоренном движении скорость тела определяется формулой:

v(t) = v₀ + at

Зная, что v(t) = x'(t), найдём формулу для определения координаты x:

$x(t)=x_0+v_0t+\frac {at^2} {2}$

Примечание. Равнозамедленным можно назвать движение, при котором модуль скорости равномерно уменьшается со временем (если вектора $\vec{v}$ и $\vec{a}$ противонаправлены). Равнозамедленное движение также является равноускоренным.

Перемещение в случае одномерного равноускоренного движения

В случае одномерного равноускоренного движения вдоль координаты x имеет место формула:

$\Delta x =\frac {v_x^2-v^2_{0x}} {2a_x}$,

Криволинейное равноускоренное движение также можно рассматривать как одномерное. В этом случае используется обобщённая координата S, часто называемая путём. Эта координата соответствует длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

$\Delta S =\frac {v^2-v^2_{0}} {2a_\tau}$,

где a_τ — тангенциальное ускорение, которое «отвечает» за изменение модуля скорости тела.

Из вышеприведенных формул можно получить выражения для определения конечной скорости тела, при известных начальной скорости, ускорении и перемещении:

$v_x=\pm\sqrt {v^2_{0x} + 2a_x \Delta x }$

В случае криволинейного равноускоренного движения имеем:

$v=\pm\sqrt {v^2_{0} + 2a_\tau \Delta S }$

Аналогичные соотношения можно записать для выражений:

$v_y=\pm\sqrt {v^2_{0y} + 2a_y \Delta y }$;

$v_z=\pm\sqrt {v^2_{0z} + 2a_z \Delta z }$.

И найти конечную скорость по теореме Пифагора

$|\vec v| =\sqrt {v^2_{x} + v^2_{y} + v^2_{z}}$.

Теорема о кинетической энергии

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

$m a_x \Delta x =\frac{m v_x^2}{2} - \frac{m v_{0x}^2}{2}$.

Записав аналогичные соотношения для координат y и z и просуммировав все три равенства получим соотношение:

$\vec F \cdot \vec{\Delta r} =\frac{m v^2}{2} - \frac{m v_{0}^2}{2}$.

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы $\vec F$, а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный момент движения.