РС код

РС код

Коды Рида — Соломона — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида — Соломона, работающие с байтами (октетами).

Код Рида — Соломона является частным случаем БЧХ-кода.

В настоящее время широко используется в системах восстановления данных с компакт-дисков, при создании архивов с информацией для восстановления в случае повреждений, в помехоустойчивом кодировании.

Содержание

История

Код Рида — Соломона был изобретён в 1960 году сотрудниками лаборатории Линкольна Массачуссетского технологического института Ирвином Ридом (англ.) и Густавом Соломоном (англ.). Идея использования этого кода была представлена в статье «Polynomial Codes over Certain Finite Fields». Первое применение код Рида — Соломона получил в 1982 году в серийном выпуске компакт-дисков. Эффективный алгоритм декодирования был предложен в 1969 году Элвином Берлекэмпом (англ.) и Джэймсом Месси (англ.)

Формальное описание

Коды Рида — Соломона являются важным частным случаем БЧХ-кода, корни порождающего полинома которого лежат в том же поле, над каким и строится код (m = 1). Пусть α — элемент поля \textstyle GF(q) порядка \textstyle n. Если αпримитивный элемент, то его порядок равен q − 1, то есть \alpha^{q-1}=1,\quad \alpha^i \neq 1, 0<i<q-1. Тогда нормированный полином g(x) минимальной степени над полем \textstyle GF(q), корнями которого являются d − 1 подряд идущих степеней \alpha^{l_0}, \alpha^{l_0+1},...,\alpha^{l_0+d-1} элемента α, является порождающим полиномом кода Рида — Соломона над полем \textstyle GF(q):

g(x) = (x - \alpha^{l_0})(x - \alpha^{l_0+1})\dots(x - \alpha^{l_0+d-1})

где l0 — некоторое целое число (в том числе 0 и 1), с помощью которого иногда удается упростить кодер. Обычно полагается l0 = 1. Степень многочлена \textstyle g(x) равна d − 1.

Длина полученного кода n, минимальное расстояние d (минимальное расстояние d линейного кода является минимальным из всех расстояний Хемминга всех пар кодовых слов, см. Линейный код). Код содержит r = d − 1 = deg(g(x)) проверочных символов, где deg() обозначает степень полинома; число информационных символов k = nr = nd + 1. Таким образом \textstyle d = n - k - 1 и код Рида — Соломона является разделимым кодом с максимальным расстоянием (является оптимальным в смысле границы Синглтона).

Кодовый полином c(x) может быть получен из информационного полинома m(x), \deg m(x) \leqslant k-1, путем перемножения m(x) и g(x):

c(x) = m(x)g(x)

Свойства

Код Рида — Соломона над \textstyle GF(q^m), исправляющий t ошибок, требует 2t проверочных символов и с его помощью исправляются произвольные пакеты длиной t и меньше. Согласно теореме о границе Рейгера, коды Рида — Соломона являются оптимальными с точки зрения соотношения длины пакета и возможности исправления ошибок — используя 2t дополнительных проверочных символов исправляются t ошибок (и менее).

Теорема (граница Рейгера). Каждый линейный блоковый код, исправляющий все пакеты длиной t и менее, должен содержать по меньшей мере 2t проверочных символов.

Исправление многократных ошибок

Код Рида — Соломона является одним из наиболее мощных кодов, исправляющих многократные пакеты ошибок. Применяется в каналах, где пакеты ошибок могут образовываться столь часто, что их уже нельзя исправлять с помощью кодов, исправляющих одиночные ошибки.

(qm − 1,qm − 1 − 2t)-код Рида — Соломона над полем \textstyle GF(q^m) с кодовым расстоянием d = 2t + 1 можно рассматривать как ((qm − 1)m,(qm − 1 − 2t)m)-код над полем \textstyle GF(q), который может исправлять любую комбинацию ошибок, сосредоточенную в t или меньшем числе блоков из m символов. Наибольшее число блоков длины m, которые может затронуть пакет длины li, где l_i \leqslant mt_i - (m-1), не превосходит ti, поэтому код, который может исправить t блоков ошибок, всегда может исправить и любую комбинацию из p пакетов общей длины l, если l+(m-1) \leqslant mt.

Практическая реализация

Кодирование с помощью кода Рида — Соломона может быть реализовано двумя способами: систематическим и несистематическим (см. [1], описание кодировщика).

При несистематическом кодировании информационное слово умножается на некий неприводимый полином в поле Галуа. Полученное закодированное слово полностью отличается от исходного и для извлечения информационного слова нужно выполнить операцию декодирования и уже потом можно проверить данные на содержание ошибок. Такое кодирование требует большие затраты ресурсов только на извлечение информационных данных, при этом они могут быть без ошибок.

Структура систематического кодового слова Рида — Соломона

При систематическом кодировании к информационному блоку из k символов приписываются 2t проверочных символов, при вычислении каждого проверочного символа используются все k символов исходного блока. В этом случае нет затрат ресурсов при извлечении исходного блока, если информационное слово не содержит ошибок, но кодировщик/декодировщик должен выполнить k(nk) операций сложения и умножения для генерации проверочных символов. Кроме того, так как все операции проводятся в поле Галуа, то сами операции кодирования/декодирования требуют много ресурсов и времени. Быстрый алгоритм декодирования, основанный на быстром преобразовании Фурье, выполняется за время порядка lnn2.

Схема применения кода Рида — Соломона

Кодирование

При операции кодирования информационный полином умножается на порождающий многочлен. Умножение исходного слова S длины k на неприводимый полином при систематическом кодировании можно выполнить следующим образом:

  • К исходному слову приписываются 2t нулей, получается полином \textstyle T = S x^{2t}.
  • Этот полином делится на порождающий полином G, находится остаток R, \textstyle S x^{2t} = Q G + R, где Q — частное.
  • Этот остаток и будет корректирующем кодом Рида — Соломона, он приписывается к исходному блоку символов. Полученное кодовое слово \textstyle C = S x^{2t} + R.

Кодировщик строится из сдвиговых регистров, сумматоров и умножителей. Сдвиговый регистр состоит из ячеек памяти, в каждой из которых находится один элемент поля Галуа.

Декодирование

Декодировщик, работающий по авторегрессивному спектральному методу декодирования, последовательно выполняет следующие действия:

  • Вычисляет синдром ошибки
  • Строит полином ошибки
  • Находит корни данного полинома
  • Определяет характер ошибки
  • Исправляет ошибки

Вычисление синдрома ошибки

Вычисление синдрома ошибки выполняется синдромным декодером, который делит кодовое слово на порождающий многочлен. Если при делении возникает остаток, то в слове есть ошибка. Остаток от деления является синдромом ошибки.

Построение полинома ошибки

Вычисленный синдром ошибки не указывает на положение ошибок. Степень полинома синдрома равна 2t, что много меньше степени кодового слова n. Для получения соответсвия между ошибкой и ее положением в сообщении строится полином ошибок. Полином ошибок реализуется с помощью алгоритма Берлекэмпа — Месси, либо с помощью алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида имеет простую реализацию, но требует больших затрат ресурсов. Поэтому чаще применяется более сложный, но менее затратоемкий алгоритм Берлекэмпа — Месси. Коэффициенты найденного полинома непосредственно соответствуют коэффициентам ошибочных символов в кодовом слове.

Нахождение корней

На этом этапе ищутся корни полинома ошибки, определяющие положение искаженных символов в кодовом слове. Реализуется с помощью процедуры Ченя, равносильной полному перебору. В полином ошибок последовательно подставляются все возможные значения, когда полином обращается в ноль — корни найдены.

Определение характера ошибки и ее исправление

По синдрому ошибки и найденным корням полинома с помощью алгоритма Форни определяется характер ошибки и строится маска искаженных символов. Эта маска накладывается на кодовое слово с помощью операции XOR и искаженные символы восстанавливаются. После этого отбрасываются проверочные символы и получается восстановленное информационное слово.

Применение

В настоящий момент коды Рида — Соломона имеют очень широкую область применения благодаря их способности находить и исправлять многократные пакеты ошибок.

Запись и хранение информации

Код Рида — Соломона используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (

Запись на CD-ROM

Возможные ошибки при чтении с диска появляются уже на этапе производства диска, так как сделать идеальный диск при современных технологиях невозможно. Так же ошибки могут быть вызваны царапинами на поверхности диска, пылью и т. д. Поэтому при изготовлении читаемого компакт-диска используется система коррекции CIRC (Cross Interleaved Reed Solomon Code). Эта коррекция реализована во всех устройствах, позволяющих считывать данные с CD дисков, в виде чипа с прошивкой firmware. Нахождение и коррекция ошибок основана на избыточности и перемежении (redundancy & interleaving). Избыточность примерно 25 % от исходной информации.

При записи на цифровые аудиокомпакт-диски (Compact Disc Digital Audio — CD-DA) используется стандарт Red Book. Коррекция ошибок происходит на двух уровнях C1 и C2. При кодировании на первом этапе происходит добавление проверочных символов к исходным данным, на втором этапе информация снова кодируется. Кроме кодирования осуществляется также перемешивание (перемежение) байтов, чтобы при коррекции блоки ошибок распались на отдельные биты, которые легче исправляются. На первом уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки длиной один и два байта (один и два ошибочных символа соответсвенно). Ошибочные блоки длиной три байта обнаруживаются и передаются на следующий уровень. На втором уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки, возникшие в C2, длиной 1 и 2 байта. Обнаружение трех ошибочных символа является фатальной ошибкой, не могут быть исправлены.

Беспроводная и мобильная связь

Этот алгоритм кодирования используется при передаче данных по сетям оптических линиях связи, в спутниковой и радиорелейной связи. Метод прямой коррекции ошибок в проходящем трафике (Forward Error Correction, FEC) основывается на кодах Рида — Соломона.

Примеры кодов

16-ричный (15,11) код Рида — Соломона

Пусть t = 2,l0 = 1. Тогда

g(x) = (x − α)(x − α2)(x − α3)(x − α4) = x4 + α13x3 + α6x2 + α3x + α10

.

Степень g(x) равна 4, nk = 4 и k = 11. Каждому элементу поля GF(16) можно сопоставить 4 бита. Информационный многочлен является последовательностью 11 символов из GF(16), что эквивалентно 44 битам, а все кодовое слово является набором из 60 бит.

8-ричный (7,3) код Рида — Соломона

Пусть t = 2,l0 = 4. Тогда

g(x) = (x − α4)(x − α5)(x − α6)(x − α0) = x4 + α6x3 + α6x2 + α3x + α

.

Пусть информационный многочлен имеет вид

m(x) = α4x2 + x + α3

.

Кодовое слово несистематического кода запишется в виде

c(x) = m(x)g(x) = (α4x2 + x + α3)(x4 + α6x3 + α6x2 + α3x + α) = α4x6 + αx5 + α6x4 + 0x3 + 0x2 + α5x + α4

что представляет собой последовательность семи восьмеричных символов.

Примечания

Литература

  • Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976. — С. 596.
  • Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and practice of error control codes. — М.: Мир, 1986. — С. 576.
  • Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования = Algebraic Coding Theory. — М.: Мир, 1971. — С. 478.

Ссылки

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "РС код" в других словарях:

  • Код аэропорта ИАТА — Код аэропорта ИАТА  трёхбуквенный уникальный индивидуальный идентификатор, присваиваемый аэропортам мира Международной ассоциацией воздушного транспорта (ИАТА). Этот код выделяется согласно резолюции ИАТА 763 штаб квартирой этой организации… …   Википедия

  • Код да Винчи (фильм) — Код да Винчи The Da Vinci Code Жанр триллер …   Википедия

  • Код Рида — Соломона — Коды Рида Соломона недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код… …   Википедия

  • Код да Винчи — Код да Винчи  это также название фильма 2006 года с Томом Хэнксом и Одри Тоту в главных ролях. Код да Винчи The Da Vinci Code …   Википедия

  • КОД С ИСПРАВЛЕНИЕМ ОШИБОК — код, корректирующий ошибки, множество сообщений, предназначенных для передачи по каналу связи с шумами, обладающее тем свойством, что окрестность ошибок каждого сообщения (т. е. совокупность искаженных вариантов этого сообщения) не пересекается с …   Математическая энциклопедия

  • Код авиакомпании ИАТА — Код авиакомпании ИАТА  2 или 3 символьный индивидуальный идентификатор, присвоенный авиакомпании Международной ассоциацией воздушного транспорта (ИАТА). Этот код выделяется согласно резолюции ИАТА № 762 штаб квартирой ассоциации в… …   Википедия

  • Код (значения) — Код (фр. code, от лат. codex): В Викисловаре есть статья «код» …   Википедия

  • Код оболочки — Код оболочки, шелл код (англ. shellcode) это двоичный исполняемый код, который обычно передаёт управление консоли, например /bin/sh Unix shell, command.com в MS DOS и cmd.exe в операционных системах Microsoft Windows. Код оболочки может быть… …   Википедия

  • Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема — Коды Боуза  Чоудхури  Хоквингхема (БЧХ коды)  в теории кодирования это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок (см. Обнаружение и исправление ошибок). Отличается возможностью построения кода с… …   Википедия

  • Код Да Винчи — Код да Винчи  это также название фильма 2006 года с Томом Хэнксом и Одри Тоту в главных ролях. «Витрувианский человек» Леонардо да Винчи. В романе тело Жака Соньера, убитого куратора Лувра, находят на полу музея в точно такой же позе, как на этом …   Википедия

  • Код Да Винчи (роман) — Код да Винчи  это также название фильма 2006 года с Томом Хэнксом и Одри Тоту в главных ролях. «Витрувианский человек» Леонардо да Винчи. В романе тело Жака Соньера, убитого куратора Лувра, находят на полу музея в точно такой же позе, как на этом …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»