Полюс и поляра

У этого термина существуют и другие значения, см. Поляра (аэродинамика).

Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M₁ и M₂ пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P.

Поляра является прямой линией. Точку P называют полюсом поляры. Всякая невырожденная линия 2-го порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества её прямых — поляритет или полярное преобразование.

Свойства

• Если точка P лежит «вне» линии 2-го порядка (то есть через точку P можно провести две касательные к линии), то поляра проходит через точки касания данной линии с прямыми, проведёнными через точку P.
• Если точка P лежит на кривой 2-го порядка, то поляра является прямой, касательной к данной кривой в этой точке.
• Если поляра точки P проходит через точку Q, то поляра точки Q проходит через точку Р.

Вариации и обобщения

Аналогично определяется поляра (полярная плоскость) некоторой точки относительно невырожденной поверхности 2-го порядка.

Понятие поляры относительно линии второго порядка обобщается на линии n-го порядка. При этом заданной точке плоскости ставится в соответствие n-1 поляр относительно линии n-го порядка. Первая из этих поляр является линией порядка n-1, вторая, являющаяся полярой заданной точки относительно первой поляры, имеет порядок n-2 и т. д. и, наконец, (n-1)-я поляра является прямой линией.

Литература

• Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978;
• Постников М. М., Аналитическая геометрия, М.,,1973