Полудифференцируемая функция

Полугладкая функция — обобщение понятия гладкая фунция, включаюцее гладкие, выпуклые, кусочно линейные функции.

Определение

Функция $f:\R^n\to\R$ называется полугладкой если в каждой точке $x\in\R^n$ существует подмножество $\partial_{x}f$ линейных операторов $\R^n\to\R$ такое что для любой последовательности $x_n\to x$ и $\ell_n\in\partial_{x_n}f$ выполнено

$\frac{f(x)-f(x_n)-\ell_n(x-x_n)}{x-x_n}\to 0$