Парадокс Бурали — Форти

В теории множеств парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если x — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма $\textstyle\bigcup x$ есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов x. Предположим теперь, что Ω — множество всех порядковых чисел. Тогда $\textstyle\bigcup \Omega$ — порядковое число, большее или равное любому из чисел в Ω. Но тогда и $\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$ — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в Ω. Но это противоречит условию, по которому Ω — множество всех порядковых чисел.

История

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех x таких, что P» ($\{x \mid P\}$).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия P, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма $\{x \mid P\}$ для произвольных P, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а собственно классом.