- Овалы Кассини
-
Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.
Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1].
Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).
Содержание
Уравнения
Расстояние между фокусами 2c.
Вывод Фокусы — F1( − c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y), найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к a2: Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:
- Явное уравнение в прямоугольных координатах:
Вывод
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно y2. Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положитильный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.
- В полярной системе координат:
Вывод
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1:
Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = cos2α:
Особенности формы
В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: c — половина расстояния между фокусами и a — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :
- , то есть при .
- Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При форма кривой стремится к двум точкам.
- , то есть
- Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.
- , то есть
- Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.
- , то есть
- У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью OY стремится к нулю, когда a стремится к c и к бесконечности, когда a стремится к .
- , то есть
- , то есть при
- По мере увеличения a (то есть стремления отношения к нулю) кривая стремится к окружности радиуса a. Если c = 0, то отношение достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.
Свойства
- Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
- При имеет два абсолютных максимума и два минимума:
- Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.
- При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:
- Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .
- Радиус кривизны для представления в полярных координатах:
См. также
- Лемниската Бута
- Лемниската Бернулли
- Плоская кривая
- Алгебраическая кривая
- Многофокусная алгебраическая кривая
Литература
- Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
Примечания
- ↑ Космические овалы Кассини Е. Скляревский
Wikimedia Foundation. 2010.