Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение

Точка $x$ называется предельной точкой подмножества $A$ в топологическом пространстве $X$, если всякая проколотая окрестность точки $x$ имеет с $A$ непустое пересечение.

Для пространств $X$, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты, есть равносильное определение: Точка $x$ называется предельной точкой подмножества $A$, если всякая окрестность точки $x$ имеет с $A$ бесконечное число общих точек.

Связанные понятия и свойства

• Все точки множества $A$ делятся на два вида: предельные и изолированные точки. Изолированной называется такая точка x, у которой есть окрестность, не имеющая с $A$ других общих точек, кроме $x$. Подмножество в $A$, состоящее из одной этой точки, является открытым в $A$ (в индуцированной топологии).

• Совокупность всех предельных точек множества $A$ называется его произво́дным мно́жеством и обозначается $A'$. Все предельные точки множества входят в его замыкание $\bar A$. Более того, справедливо равенство: $\bar A = A \cup A'$, из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

• В метрических пространствах, если $x$ — предельная точка множества $A$, то существует последовательность точек из $A$ сходящаяся к $x$. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.

• Хаусдорфово пространство $X$ называется секвенциально компактным, если в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку в $X$. Всякий хаусдорфов компакт секвенциально компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.

(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он секвенциально компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

• Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

Примеры

Рассмотрим множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:

• $(a,b)' = [a,b];$
• $\mathbb{Q}' = \mathbb{R},$ где $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел;
• $\mathbb{Z}' = \varnothing,$ где $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел;

Предельная точка числового множества

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества $~-\infty$, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой $~+\infty$.^[1]

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

Свойства

• У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел $~-\infty$ и $~+\infty$, то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.

• Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.^[1]

$~x$ — предельная точка последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists X \subseteq \N \colon \left| X \right| = \alef_0 \land \forall i \in X \colon \left| x_i - x\right| < \varepsilon$

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда в множество возможных предельных точек включают «$~-\infty$» и «$~+\infty$». Так если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «$~-\infty$» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «$~+\infty$» является её предельной точкой.^[1] При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

Свойства

• Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке.

  $~x$ — предельная точка последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow \exists \left\{ k_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \forall i \in \N \colon k_{i} < k_{i + 1} \land \lim_{n \to \infty} x_{k_n} = x$

  Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.

• Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

  $~x, x'$ — предельные точки последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow x = x'$

• Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.

  $~x$ — предельная точка последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x$

• Для любого конечного или счётного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
• У произвольной числовой последовальности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Примеры

• У последовательности из единиц $\left\{ 1 \right\}_{n = 1}^{\infty}$ существует единственная предельная точка 1.
• У последовательности $\left\{ 1 / n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ существует единственная предельная точка 0.
• У последовательности натуральных чисел $\left\{ n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка $~+\infty$).
• У последовательности $\left\{ \left( -1 \right)^n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ существуют две предельные точки: -1 и +1.
• У последовательности из всех рациональных чисел $\left\{ q_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также

• Изолированная точка
• Точка прикосновения