Обусловленность матрицы

В численных методах, число обусловленности характеризует точность решения задачи и является мерой аменабельности этого решения в численном представлении, то есть насколько задача хорошо или плохо обусловлена.

Если число обусловленности некоего уравнения мало́, то уравнение называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то уравнение называется плохо обусловленным.

Число обусловленности для оператора

Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор $\,\! A$.
Числом обусловленности оператора $\,\! A$ называется число

$\mu(A) = ||A||\cdot||A^{-1}||$

Если оператор $\,\! A^{-1}$ не ограничен, то числом обусловленности оператора $\,\! A$ обычно считают $\mu(A) = +\infty$

С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.

Рассмотрим линейное уравнение

$\,\! Au = f$,

где $\,\! A$ — линейный оператор, $\,\! f$ — вектор, $\,\! u$ — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных. Тогда число обусловленности $\,\! \mu(A)$ характеризует, насколько сильно будет велика погрешность в решении.

Если число обусловленности оператора $\,\! A$ мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше $\,\! \mu(A)$, тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что $\,\! \mu(A) \geqslant 1$, то наилучшим числом обусловленности является 1.

Некоторые теоремы, связанные с числом обусловленности

Оценка относительной погрешности при замене уравнения близким

Рассмотрим два линейных уравнения:

$\,\! Au = f \qquad \qquad \qquad \qquad \ (1)$ — «основное» уравнение

$\,\! (A + \Delta A)u = f + \Delta f \qquad (2)$ — «близкое» к нему.

Пусть $\,\! A$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из полного пространства $\,\! U$.
Пусть операторы $\,\! A^{-1}, \Delta A$ также ограничены, и $\,\! ||A^{-1}||\cdot||\Delta A|| < 1$.

Пусть $\,\! u^*$ — решение уравнения (1), $\,\! u^* + \Delta u$ — решение уравнения (2).

Тогда    $\frac{||\Delta u||}{||u^*||} \leqslant \frac{\mu(A)}{1 - \mu(A)\frac{||\Delta A||}{||A||}} \left(\frac{||\Delta A||}{||A||} + \frac{||\Delta f||}{||f||} \right)$