Нечеткая логика

Нечёткая логика и теория нечётких множеств - раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечеткой логики было впервые введено профессором Лотфи Заде в 1965 г.

Направления исследований нечеткой логики

В настоящее время существует по крайней мере два основных направления научных исследований в области нечеткой логики:

• Нечеткая логика в широком смысле (Теория приближенных вычислений)
• Нечеткая логика в узком смысле (Символическая нечеткая логика)

Математические основы

Символическая нечеткая логика

Символическая нечеткая логика основывается на понятии t-нормы. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над пропозициональными переменными: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие. Нетрудно доказать теорему о том, что дистрибутивность, присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается t-норма Гёделя. Кроме того, в силу определенных причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую residium (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы). Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению базисной нечеткой логики, которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с исчислением высказываний). Существуют три основных базисных нечетких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и вероятностная логика (Product logic). Интересно, что объединение любых двух из трех перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

Теория приближенных вычислений

Основное понятие нечеткой логики в широком смысле - нечеткое множество, определяемое при помощи обобщенного понятия характеристической функции. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечеткого отношения, а также одно из важнейших понятий - понятие лингвистической переменной. Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечеткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и правило вывода (и оператор импликации).

Примеры

Нечеткое множество, содержащее число 5. Нечеткое множество, содержащее число 5, можно задать, например, такой характеристической функцией: $\mu_A \left( x \right) = \left( 1+\left| x - 10 \right| ^ n \right) ^{-1}$

Пример определения лингвистической переменной В обозначениях, принятых для лингвистической переменной:

• X = "Температура в комнате"
• U = [5, 35]
• T = {"холодно", "комфортно", "жарко"}

Характеристические функции:

• $\mu_{cold} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-10}{7} \right) ^{12} }$
• $\mu_{ok} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-20}{3} \right)^{6} }$
• $\mu_{hot} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-30}{6} \right)^{10} }$

Правило G порождает новые термы с использованием союзов "и", "или", "не", "очень", "более ли менее".

• не A: $1 - \mu_A \left( u \right)$
• очень A: $\left( \mu_A \left( u \right) \right) ^ 2$
• более ли менее A: $\sqrt { \mu_A \left( u \right)}$
• A и B: $\max \left( \mu_A \left( x \right), \mu_B \left( x \right) \right)$
• A или B: $\min \left( \mu_A \left( x \right), \mu_B \left( x \right) \right)$

Внешние ссылки

• [1] Статьи по нечетким множествам.
• [2] Учебник по математической логике, содержащий и главу о нечеткой логике.
• [3] Сайт, посвященный нечеткой логике.
• [4] Статья в журнале Компьютерра.