Несобственные интегралы

Несобственные интегралы

Содержание

Определение

Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx . Тогда:

  1. Если \exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = \infty \ (\pm \infty или \not\exists), то обозначается \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx В этом случае интеграл называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или  \not\exists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Критерий Коши

1. Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow \left|\int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

2. Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow \left|\int\limits_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

Абсолютная сходимость

Интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)называется абсолютно сходящимся, если \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Несобственные интегралы" в других словарях:

  • Несобственные интегралы —         обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования (см. Интеграл). Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь… …   Большая советская энциклопедия

  • Расходящиеся интегралы —         интегралы с бесконечными пределами, а также с неограниченной подынтегральной функцией, равные бесконечности или же не имеющие определённого конечного значения. Например, интеграл Несобственные интегралы, Интеграл, Суммирование… …   Большая советская энциклопедия

  • Френеля интегралы —         интегралы вида                  и                  введённые О. Ж. Френелем (См. Френель) при решении задач дифракции света (См. Дифракция света). Несобственные Ф. и. равны S (∞) = С (∞) = 1/2. Таблицы Ф. и. приводятся во многих… …   Большая советская энциклопедия

  • Несобственный интеграл — Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].… …   Википедия

  • Интегральное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… …   Большая советская энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — часть математики, в к рой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что М. а. изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых.… …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл — (от лат. integer целый)         одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости… …   Большая советская энциклопедия

  • Фурье интеграл —         формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если… …   Большая советская энциклопедия

  • Сингулярный интеграл —         1) одно из средств представления функций; под С. и. понимают интеграл вида                  ,          который при n → ∞ сходится (при тех или иных ограничениях на функцию f) к порождающей его функции f (х); функция Kn (x, t) называется… …   Большая советская энциклопедия

  • Сходимость —         математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»