Неразрывности уравнение

Неразрывности уравнение

Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Содержание

Электромагнетизм

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

\operatorname{div}\mathbf{j} + {\partial \rho \over \partial t} = 0

Вывод

Закон Ампера гласит

 \operatorname{rot}\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.

Взяв дивергенцию от обоих частей выражения, получим

\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{H}=\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{div}\mathbf{D},

но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом

\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{div}\mathbf{D}=0

По теореме Гаусса

\operatorname{div}\mathbf{D} = \rho.\,

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.

Интерпретация

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.

Теория волн

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объеме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial w}{\partial t}=0

где \mathbf{j}=\mathbf{j}(x,y,z,t) — вектор плотности потока энергии в точке с координатами \left(x, y, z\right) в момент времени \,t, \,w=w(x,y,z,t) — плотность энергии.

Вывод

По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, т.е. j=\frac{dW}{dtdS_{\bot }}, а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объема V,

\oint\limits_{S}{\mathbf{j}d\mathbf{S}}=\frac{dW_{out}}{dt}

По закону сохранения энергии \frac{dW_{out}}{dt}=-\frac{dW_{in}}{dt}, где Win — энергия, находящаяся в объеме V. По определению, плотность энергии — энегрия единицы объема, тогда полная энегрия, заключенная в данном объеме, равна

W_{in}=\int\limits_{V}{wdV}

Тогда выражение для потока энергии примет вид

\oint\limits_{S}{\mathbf{j}d\mathbf{S}}=-\frac{d}{dt}\int\limits_{V}{wdV}=-\int\limits_{V}{\frac{\partial w}{\partial t}dV}

Применяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим

\int\limits_{V}{\operatorname{div}\mathbf{j}dV}=-\int\limits_{V}{\frac{\partial w}{\partial t}dV}

В силу произвольности выбранного объема, заключаем что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.

Гидродинамика

В гидродинамике уравнение непрерывности, иногда называемое уравнением неразрывности, выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\operatorname{div}\rho \mathbf{v}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \operatorname{div}\,\mathbf{v}+\mathbf{v}\operatorname{grad}\rho =0,

где \rho = \rho\left(x,y,z,t\right) — плотность жидкости (или газа), \mathbf{v}=\mathbf{v}\left( x,y,z,t \right) — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами \left(x, y, z\right) в момент времени \,t.

Вектор \mathbf{j}=\rho \mathbf{v} называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей \,\rho = \operatorname{const}. Поэтому уравнение принимает вид

\operatorname{div}\,\mathbf{v}=0,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(xt) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде

\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)=0

где j — ток вероятности.


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Неразрывности уравнение" в других словарях:

  • НЕРАЗРЫВНОСТИ УРАВНЕНИЕ — одно из ур ний гидродинамики, выражающее закон сохранения массы для любого объёма движущейся жидкости (газа). В переменных Эйлера (см. ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ) Н. у. имеет вид: где r плотность жидкости, v ее скорость в данной точке, a vx,… …   Физическая энциклопедия

  • Неразрывности уравнение — фундаментальное уравнение аэро и гидродинамики, выражающее в дифференциальной форме закон сохранения массы в потоке: d(()/dt + div((()V) = 0, где (г) плотность, t время, V вектор скорости потока. Впервые Н. у. было получено Л. Эйлером (1755),… …   Энциклопедия техники

  • неразрывности уравнение — неразрывности уравнение — фундаментальное уравнение аэро и гидродинамики, выражающее в дифференциальной форме закон сохранения массы в потоке: ∂ρ/∂t + div(ρV) = 0, где ρ — плотность, t — время, V — вектор скорости потока.… …   Энциклопедия «Авиация»

  • неразрывности уравнение — неразрывности уравнение — фундаментальное уравнение аэро и гидродинамики, выражающее в дифференциальной форме закон сохранения массы в потоке: ∂ρ/∂t + div(ρV) = 0, где ρ — плотность, t — время, V — вектор скорости потока.… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Неразрывности уравнение —         в гидродинамике, одно из уравнений гидродинамики, выражающее закон сохранения массы для любого объёма движущейся жидкости (газа). В переменных Эйлера (см. Эйлера уравнения гидромеханики) Н. у. имеет вид:                  где ρ плотность… …   Большая советская энциклопедия

  • НЕРАЗРЫВНОСТИ УРАВНЕНИЕ — одно из основных уравнений гидродинамики, выражающее закон сохранения массы для любого объема движущейся жидкости (газа). В переменных Эйлера Н. у. имеет вид где плотность жидкости, ее скорость в данной точке, проекции скорости на координатные… …   Математическая энциклопедия

  • НЕРАЗРЫВНОСТИ УРАВНЕНИЕ — одно из осн. ур ний механики сплошных сред, выражающее закон сохранения массы. Для сжимаемой среды (напр., газа) Н. у. имеет вид: где vx, vy и vz проекции на оси декартовой системы координат скорости v движения среды в точке (х, у, г), р… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • уравнение сохранения массы — уравнение неразрывности — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы уравнение неразрывности EN conservation equation …   Справочник технического переводчика

  • уравнение неразрывности — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN equation of continuityequation of through flow …   Справочник технического переводчика

  • уравнение неразрывности Максвелла — (напр. для описания условий внутри электрофильтра) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Maxwell equation …   Справочник технического переводчика


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»