Малая теорема Фубини

Малая теорема Фубини — это теорема о почленном дифференцировании ряда монотонных функций, которая гласит:

Всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

$\sum_{n=1}^\infty F_n(x)=F(x)\qquad(1)$

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

$\sum_{n=1}^\infty F_n'(x)=F'(x).$

Доказательство

Без ограничения общности можно считать все функции $F'(x)$ неотрицательными и равными нулю при $x=a$; в противном случае можно заменить $F_n(x)$ на $F_n(x)-F_n(a)$. Сумма ряда неубывающих функций есть, конечно, неубывающая функция.

Рассмотрим множество $E$ полной меры, на котором существуют все $F_n'(x)$ и $F'(x)$. При $x\subset E$ и любом $\varepsilon$ мы имеем:

$\frac{\sum\limits_{n=1}^\infty[F_n(\varepsilon)-F_n(x)]}{\varepsilon-x}=\frac{F(\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon-x}.$

Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом $N$

$\frac{\sum\limits_{n=1}^N[F_n(\varepsilon)-F_n(x)]}{\varepsilon-x}\leqslant\frac{F(\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon-x}.$

Переходя к пределу при $\varepsilon\to x$, получаем:

$\sum_{n=1}^N F_n'(x)\leqslant F'(x),$

откуда, устремляя $N$ к $\infty$ и учитывая, что все $F_n'(x)$ неотрицательны, находим:

$\sum_{n=1}^\infty F_n'(x)\leqslant F'(x).\qquad(2)$

Покажем, что в действительности почти при всех $x$ здесь имеет места знак равенства. Найдём для заданного $k$ частную сумму $S_{nk}(x)$ ряда (1), для которой:

$0\leqslant F(b)-S_{nk}(b)\prec\frac{1}{2^k}.\quad(k=1,\;2,\;\ldots)$

Так как разность

$F(x)-S_{nk}(x)=\sum_{j\succ nk}F_j(x)$ — неубывающая функция, то и для всех $x$

$0\leqslant F(x)-S_{nk}(x)\prec\frac{1}{2^k}$

и, следовательно, ряд из неубывающих функций

$\sum_{k=1}^\infty[F(x)-S_{nk}(x)]$

сходится (даже равномерно) на всём отрезке $a\leqslant x\leqslant b$.

Но тогда по доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член этого ряда $F'(x)-S_{nk}'(x)$ почти всюду стремится к нулю, и, значит, почти всюду $S_{nk}'(x)\to F'(x)$. Но если бы в неравенстве (2) стоял знак $<$, то никакая последовательность частных сумм не могла бы иметь пределом $F'(x)$. Поэтому в неравенстве (2) почти при каждом $x$ должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.