Интегральная теорема Коши

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Теорема

Для любой функции $f(z)$, аналитической в некоторой односвязной области $A\subset\mathbb C,$ и для любой замкнутой кривой $\Gamma\subset A$ справедливо соотношение $\oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0$

Доказательство

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма $f(z)\,dz$ замкнута. Пусть теперь $\Gamma$ — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции $f(z)$, ограничивающий область $D$. Тогда по теореме Стокса имеем:

$\int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = \int\limits_{\partial D} f(z)\,dz = \int\limits_D d[f(z)\,dz] = 0$

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.