Геометрия Римана

Не следует путать с Риманова геометрия.

Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, т.е. на сферах. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т.д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула $\,\Sigma = \pi + {S}/{R^2},$ где $\,\Sigma$ — сумма углов треугольника, $\,R$ — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Именно, рассмотрим сферу $\,S$ с центром в точке $\,O$ в трехмерном пространстве $\,E$. Каждая точка $A \in S$ вместе с центром сферы $\,O$ определяет некоторую прямую $l \subset E$, т.е. некоторую точку $\,A_*$ проективной плоскости $\,\Pi$. Сопоставление $A \to A_*$ определяет отображение $S \to \Pi$, большие круги на $\,S$ (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости $\,\Pi$, при этом в одну точку $A_*\in \Pi$ переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой $A \in S$ и диаметрально противоположная ей точка $A' \in S$ (см. рисунок). Евклидовы движения пространства $\,E$, переводящие сферу $\,S$ в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости $\,\Pi$, которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

Геометрия Римана не является абсолютной геометрией. В частности, в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B», которое используется в аксиоматике абсолютной геометрии. Действительно, на прямую проективной плоскости $\,\Pi$ отображается большой круг на сфере $\,S$, причем две диаметрально противоположные точки сферы $\,A$ и $\,A'$ переходят в одну точку $A_* \in \Pi$. Аналогично, точки $\,B, B'$ переходят в одну точку $B_* \in \Pi$ и точки $\,C, C'$ переходят в одну точку $C_* \in \Pi$. Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка $\,C_*$ лежит между $\,A_*$ и $\,B_*$ и что она не лежит между ними (см. рисунок).

Литература

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.